Основы мат. анализа Примеры

$x + \frac{4 x}{x - 3} = \frac{12}{x - 3}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x - 3, x - 3$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

НОК $x - 3, x - 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 3$

Этап 2

Каждый член в $x + \frac{4 x}{x - 3} = \frac{12}{x - 3}$ умножим на $x - 3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $x + \frac{4 x}{x - 3} = \frac{12}{x - 3}$ на $x - 3$ .

$x (x - 3) + \frac{4 x}{x - 3} (x - 3) = \frac{12}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + \frac{4 x}{x - 3} (x - 3) = \frac{12}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 + \frac{4 x}{x - 3} (x - 3) = \frac{12}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.2.1.3

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x + \frac{4 x}{x - 3} (x - 3) = \frac{12}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 3 x + \frac{4 x}{x - 3} (x - 3) = \frac{12}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 3 x + 4 x = \frac{12}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.2.2

Добавим $- 3 x$ и $4 x$ .

$x^{2} + x = \frac{12}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + x = \frac{12}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + x = 12$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 12 = 0$

Этап 3.2

Разложим $x^{2} + x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $1$ .

$- 3, 4$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 3, - 4$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $x + \frac{4 x}{x - 3} = \frac{12}{x - 3}$ истинным.

$x = - 4$