Основы мат. анализа Примеры

$\tan (2 x) - \sqrt{3} = 0$

Этап 1

Добавим $\sqrt{3}$ к обеим частям уравнения.

$\tan (2 x) = \sqrt{3}$

Этап 2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$2 x = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Этап 4

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = π + \frac{π}{3}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 6.1.2

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 6.1.4

Добавим $π \cdot 3$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $3$ .

$2 x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 6.1.4.2

Добавим $3 \cdot π$ и $π$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$

Этап 6.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \cdot π$ .

$x = \frac{2 (2 \cdot π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 (2 \cdot π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2 \cdot π}{3}$

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 7

Найдем период $\tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 8

Период функции $\tan (2 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{2 π}{3} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$