Основы мат. анализа Примеры

$\sin (x) \cos (x) = \frac{1}{4}$

Этап 1

Каждый член в $\sin (x) \cos (x) = \frac{1}{4}$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим каждый член $\sin (x) \cos (x) = \frac{1}{4}$ на $2$ .

$\sin (x) \cos (x) \cdot 2 = \frac{1}{4} \cdot 2$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Изменим порядок $\sin (x) \cos (x)$ и $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) = \frac{1}{4} \cdot 2$

Этап 1.2.2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x) = \frac{1}{4} \cdot 2$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2 (2)} \cdot 2$

Этап 1.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Этап 1.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Этап 4

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Этап 5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.1.2

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 6.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 6.1.4.2

Вычтем $π$ из $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Этап 6.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Этап 6.2.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 7

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$