Основы мат. анализа Примеры

$\csc^{3} (x) - \csc^{2} (x) - \csc (x) + 1$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$\csc^{3} (x) + 1 - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Этап 2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\csc^{3} (x) + 1^{3} - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Этап 3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = \csc (x)$ и $b = 1$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) \cdot 1 + 1^{2}) - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1^{2}) - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Этап 4.2

Единица в любой степени равна единице.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Этап 5

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- \csc^{2} (x) - \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- \csc^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x)$

Этап 5.2

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- \csc (x)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$

Этап 5.3

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- \csc (x) - 1)$

Этап 6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc (x)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- (\csc (x)) - 1)$

Этап 6.1.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (1))$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\csc (x)) - 1 (1)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- (\csc (x) + 1))$

Этап 6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) \cdot - 1 (\csc (x) + 1)$

Этап 7

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) - (\csc (x) (\csc (x) + 1))$

Этап 8

Избавимся от скобок.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) - \csc (x) (\csc (x) + 1)$

Этап 9

Вынесем множитель $\csc (x) + 1$ из $(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) - \csc (x) (\csc (x) + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $\csc (x) + 1$ из $- \csc (x) (\csc (x) + 1)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + (\csc (x) + 1) (- \csc (x))$

Этап 9.2

Вынесем множитель $\csc (x) + 1$ из $(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + (\csc (x) + 1) (- \csc (x))$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1 - \csc (x))$

Этап 10

Вычтем $\csc (x)$ из $- \csc (x)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) + 1 - 2 \csc (x))$

Этап 11

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Переставляем члены.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - 2 \csc (x) + 1)$

Этап 11.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - 2 \csc (x) + 1^{2})$

Этап 11.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 \csc (x) = 2 \cdot \csc (x) \cdot 1$

Этап 11.4

Перепишем многочлен.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - 2 \cdot \csc (x) \cdot 1 + 1^{2})$

Этап 11.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = \csc (x)$ и $b = 1$ .

$(\csc (x) + 1) {(\csc (x) - 1)}^{2}$