Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{4} - 3 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$5$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$5$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$5$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 0 + x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$5$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$5$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$5$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$5$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

						$x^{2}$	-	$3 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
							-	$3 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$3 x^{3}$	+	$0$	-	$3 x$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{3} + 0 - 3 x$ .

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$5$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$3 x^{3}$

$0$

$3 x$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$5$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$3 x^{3}$

$0$

$3 x$

$5 x^{2}$

$0$

Этап 11

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$5$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$3 x^{3}$

$0$

$3 x$

$5 x^{2}$

$0$

$5$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{2}$

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$5$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$3 x^{3}$

$0$

$3 x$

$5 x^{2}$

$0$

$5$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{2}$

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$5$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$3 x^{3}$

$0$

$3 x$

$5 x^{2}$

$0$

$5$

$5 x^{2}$

$0$

$5$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{2} + 0 + 5$ .

						$x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
							-	$3 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x^{3}$	-	$0$	+	$3 x$
									+	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$5$
									-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
							-	$3 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x^{3}$	-	$0$	+	$3 x$
									+	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$5$
									-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$
														$0$

Этап 16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 3 x + 5$