Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} + 9 x^{2} - 25 x - 33$

Этап 1

Приравняем $x^{3} + 9 x^{2} - 25 x - 33$ к $0$ .

$x^{3} + 9 x^{2} - 25 x - 33 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим $x^{3} + 9 x^{2} - 25 x - 33$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 33, \pm 3, \pm 11$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 33, \pm 3, \pm 11$

Этап 2.1.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} - 25 \cdot - 1 - 33$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 + 9 {(- 1)}^{2} - 25 \cdot - 1 - 33$

Этап 2.1.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 + 9 \cdot 1 - 25 \cdot - 1 - 33$

Этап 2.1.1.3.4

Умножим $9$ на $1$ .

$- 1 + 9 - 25 \cdot - 1 - 33$

Этап 2.1.1.3.5

Добавим $- 1$ и $9$ .

$8 - 25 \cdot - 1 - 33$

Этап 2.1.1.3.6

Умножим $- 25$ на $- 1$ .

$8 + 25 - 33$

Этап 2.1.1.3.7

Добавим $8$ и $25$ .

$33 - 33$

Этап 2.1.1.3.8

Вычтем $33$ из $33$ .

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} - 25 x - 33}{x + 1}$

Этап 2.1.1.5

Разделим $x^{3} + 9 x^{2} - 25 x - 33$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x$

$33$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$25 x$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$25 x$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$25 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$33 x$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$33 x$	-	$33$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 33 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$33$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$33 x$	-	$33$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$33$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$33 x$	-	$33$
							-	$33 x$	-	$33$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 33 x - 33$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$33$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$33 x$	-	$33$
							+	$33 x$	+	$33$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$33$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$25 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$33 x$	-	$33$
							+	$33 x$	+	$33$
										$0$

Этап 2.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 8 x - 33$

Этап 2.1.1.6

Запишем $x^{3} + 9 x^{2} - 25 x - 33$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (x^{2} + 8 x - 33) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим $x^{2} + 8 x - 33$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разложим $x^{2} + 8 x - 33$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 33$ , а сумма — $8$ .

$- 3, 11$

Этап 2.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 1) ((x - 3) (x + 11)) = 0$

Этап 2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 3) (x + 11) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 11 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.5

Приравняем $x + 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 11$ к $0$ .

$x + 11 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$x = - 11$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 3) (x + 11) = 0$ верно.

$x = - 1, 3, - 11$

Этап 3