Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 20 x^{2}$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 3 x^{3} - 20 x^{2}$ к $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 20 x^{2} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 3 x^{3} - 20 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 3 x^{3} - 20 x^{2} = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) - 20 x^{2} = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 20 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} \cdot - 20 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot - 20 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot - 20$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x - 20) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 3 x - 20 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} - 3 x - 20$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} - 3 x - 20$ к $0$ .

$x^{2} - 3 x - 20 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} - 3 x - 20 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 3$ и $c = - 20$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 20$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Добавим $9$ и $80$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2}$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}, \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x^{2} - 3 x - 20) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{89}}{2}, \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{89}}{2}, \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 0, 6.21699056 \dots, - 3.21699056 \dots$

Этап 4