Основы мат. анализа Примеры

${(2 x - 1)}^{2} = 8$

Этап 1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

${(2 x - 1)}^{2} - 8 = 0$

Этап 2

Упростим ${(2 x - 1)}^{2} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(2 x - 1)}^{2}$ в виде $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) (2 x - 1) - 8 = 0$

Этап 2.1.2

Развернем $(2 x - 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1) - 8 = 0$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1) - 8 = 0$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Этап 2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Этап 2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Этап 2.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Этап 2.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Этап 2.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1 - 8 = 0$

Этап 2.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$4 x^{2} - 4 x + 1 - 8 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $8$ из $1$ .

$4 x^{2} - 4 x - 7 = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 4$ и $c = - 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 7)}}{2 \cdot 4}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 112}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.1.3

Добавим $16$ и $112$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.1.4

Перепишем $128$ в виде $8^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $64$ из $128$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{64 (2)}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 112}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.3

Добавим $16$ и $112$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.4

Перепишем $128$ в виде $8^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $64$ из $128$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{64 (2)}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 112}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.1.3

Добавим $16$ и $112$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.1.4

Перепишем $128$ в виде $8^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $64$ из $128$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{64 (2)}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.1.4.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 1.91421356 \dots, - 0.91421356 \dots$