Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$3 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$3 \cdot 16 - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Этап 4.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$48 - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$48 - 10 \cdot 8 - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Этап 4.1.4

Умножим $- 10$ на $8$ .

$48 - 80 - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Этап 4.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$48 - 80 - 9 \cdot 4 + 40 (2) - 12$

Этап 4.1.6

Умножим $- 9$ на $4$ .

$48 - 80 - 36 + 40 (2) - 12$

Этап 4.1.7

Умножим $40$ на $2$ .

$48 - 80 - 36 + 80 - 12$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $80$ из $48$ .

$- 32 - 36 + 80 - 12$

Этап 4.2.2

Вычтем $36$ из $- 32$ .

$- 68 + 80 - 12$

Этап 4.2.3

Добавим $- 68$ и $80$ .

$12 - 12$

Этап 4.2.4

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12}{x - 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$

	$3$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(6)$ под следующим членом делимого $(- 10)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$
	$3$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$
	$3$	$- 4$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 8)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$
	$3$	$- 4$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$
	$3$	$- 4$	$- 17$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 17)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 34)$ под следующим членом делимого $(40)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$
	$3$	$- 4$	$- 17$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(6)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(12)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$	$12$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$	$12$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$3 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 17) x + 6$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разложим $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 7.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Этап 7.1.1.3

Подставим $0.\overline{3}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.\overline{3}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Подставим $0.\overline{3}$ в многочлен.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Этап 7.1.1.3.2

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{037} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Этап 7.1.1.3.3

Умножим $3$ на $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{1} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Этап 7.1.1.3.4

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$0.\overline{1} - 4 \cdot 0.\overline{1} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Этап 7.1.1.3.5

Умножим $- 4$ на $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{1} - 0.\overline{4} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Этап 7.1.1.3.6

Вычтем $0.\overline{4}$ из $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Этап 7.1.1.3.7

Умножим $- 17$ на $0.\overline{3}$ .

$- 0.\overline{3} - 5.\overline{6} + 6$

Этап 7.1.1.3.8

Вычтем $5.\overline{6}$ из $- 0.\overline{3}$ .

$- 6 + 6$

Этап 7.1.1.3.9

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0$

Этап 7.1.1.4

Поскольку $0.\overline{3}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6}{3 x - 1}$

Этап 7.1.1.5

Разделим $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ на $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$17 x$

$6$

Этап 7.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$

Этап 7.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 7.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 7.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Этап 7.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$

Этап 7.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$

Этап 7.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Этап 7.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{2} + x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

Этап 7.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$

Этап 7.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Этап 7.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 18 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Этап 7.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	+	$6$

Этап 7.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 18 x + 6$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$

Этап 7.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$
										$0$

Этап 7.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 6$

Этап 7.1.1.6

Запишем $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ в виде набора множителей.

$(3 x - 1) (x^{2} - x - 6) = 0$

Этап 7.1.2

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 7.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(3 x - 1) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Этап 7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 7.3.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 7.3.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 7.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 7.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 7.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, 3, - 2$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 2) (x - \frac{1}{3}) (x - 3) (x + 2)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$ .

$x = 2, \frac{1}{3}, 3, - 2$

Этап 10