Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm 45, \pm \frac{45}{2}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(- 1)}^{4} - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$2 \cdot 1 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Этап 4.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Этап 4.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 - 17 \cdot - 1 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Этап 4.1.4

Умножим $- 17$ на $- 1$ .

$2 + 17 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Этап 4.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 + 17 + 35 \cdot 1 + 9 (- 1) - 45$

Этап 4.1.6

Умножим $35$ на $1$ .

$2 + 17 + 35 + 9 (- 1) - 45$

Этап 4.1.7

Умножим $9$ на $- 1$ .

$2 + 17 + 35 - 9 - 45$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ и $17$ .

$19 + 35 - 9 - 45$

Этап 4.2.2

Добавим $19$ и $35$ .

$54 - 9 - 45$

Этап 4.2.3

Вычтем $9$ из $54$ .

$45 - 45$

Этап 4.2.4

Вычтем $45$ из $45$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45}{x + 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(- 17)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$	$- 19$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 19)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(19)$ под следующим членом делимого $(35)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$	$54$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(54)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 54)$ под следующим членом делимого $(9)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 45)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(45)$ под следующим членом делимого $(- 45)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{3} + - 19 x^{2} + (54) x - 45$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разложим $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 7.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 45, \pm 22.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 9, \pm 4.5$

Этап 7.1.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$2 \cdot 3^{3} - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Этап 7.1.1.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$2 \cdot 27 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Этап 7.1.1.3.3

Умножим $2$ на $27$ .

$54 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Этап 7.1.1.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$54 - 19 \cdot 9 + 54 \cdot 3 - 45$

Этап 7.1.1.3.5

Умножим $- 19$ на $9$ .

$54 - 171 + 54 \cdot 3 - 45$

Этап 7.1.1.3.6

Вычтем $171$ из $54$ .

$- 117 + 54 \cdot 3 - 45$

Этап 7.1.1.3.7

Умножим $54$ на $3$ .

$- 117 + 162 - 45$

Этап 7.1.1.3.8

Добавим $- 117$ и $162$ .

$45 - 45$

Этап 7.1.1.3.9

Вычтем $45$ из $45$ .

$0$

Этап 7.1.1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45}{x - 3}$

Этап 7.1.1.5

Разделим $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$19 x^{2}$

$54 x$

$45$

Этап 7.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$

Этап 7.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 7.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 6 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Этап 7.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$

Этап 7.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

Этап 7.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 13 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

Этап 7.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$39 x$

Этап 7.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 13 x^{2} + 39 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$

Этап 7.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$

Этап 7.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

Этап 7.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

Этап 7.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

Этап 7.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $15 x - 45$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

Этап 7.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$
										$0$

Этап 7.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} - 13 x + 15$

Этап 7.1.1.6

Запишем $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

Этап 7.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 x$ .

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

Этап 7.1.2.1.1.2

Запишем $- 13$ как $- 3$ плюс $- 10$

$(x - 3) (2 x^{2} + (- 3 - 10) x + 15) = 0$

Этап 7.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 3) (2 x^{2} - 3 x - 10 x + 15) = 0$

Этап 7.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 3) ((2 x^{2} - 3 x) - 10 x + 15) = 0$

Этап 7.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 3) (x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)) = 0$

Этап 7.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$(x - 3) ((2 x - 3) (x - 5)) = 0$

Этап 7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 7.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7.4

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 7.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 7.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 7.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 7.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$ верно.

$x = 3, \frac{3}{2}, 5$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x + 1) (x - 3) (x - \frac{3}{2}) (x - 5)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$ .

$x = - 1, 3, \frac{3}{2}, 5$

Этап 10