Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} < 10 - 3 x$

Этап 1

Добавим $3 x$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} + 3 x < 10$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 3 x = 10$

Этап 3

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 3 x - 10 = 0$

Этап 4

Разложим $x^{2} + 3 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $3$ .

$- 2, 5$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 5) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 2, - 5$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$x > 2$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

${(- 8)}^{2} < 10 - 3 \cdot - 8$

Этап 10.1.3

Левая часть $64$ не меньше правой части $34$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} < 10 - 3 \cdot 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $10$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{2} < 10 - 3 \cdot 4$

Этап 10.3.3

Левая часть $16$ не меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 < x < 2$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 5, 2)$

Этап 13