Основы мат. анализа Примеры

$1 + \frac{2}{x + 1} \leq \frac{2}{x}$

Этап 1

Вычтем $\frac{2}{x}$ из обеих частей неравенства.

$1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Этап 2

Упростим $1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + 1 + 2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Этап 2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Этап 2.4

Чтобы записать $\frac{x + 3}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \leq 0$

Этап 2.5

Чтобы записать $- \frac{2}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Этап 2.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 1) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\frac{x + 3}{x + 1}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Этап 2.6.2

Умножим $\frac{2}{x}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Этап 2.6.3

Изменим порядок множителей в $(x + 1) x$ .

$\frac{(x + 3) x}{x (x + 1)} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 3) x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Этап 2.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Этап 2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2 \cdot 1}{x (x + 1)} \leq 0$

Этап 2.8.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Этап 2.8.5

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Этап 2.8.6

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 2.8.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)} \leq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 0, 1, - 2, - 1$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x (x + 1) = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 9.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 9.2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 9.2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 9.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$1 + \frac{2}{(- 4) + 1} \leq \frac{2}{- 4}$

Этап 11.1.3

Левая часть $0.\overline{3}$ больше правой части $- 0.5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1.5$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 1.5$ в исходном неравенстве.

$1 + \frac{2}{(- 1.5) + 1} \leq \frac{2}{- 1.5}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 3$ меньше правой части $- 1.\overline{3}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.5$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $- 0.5$ в исходном неравенстве.

$1 + \frac{2}{(- 0.5) + 1} \leq \frac{2}{- 0.5}$

Этап 11.3.3

Левая часть $5$ больше правой части $- 4$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$1 + \frac{2}{(0.5) + 1} \leq \frac{2}{0.5}$

Этап 11.4.3

Левая часть $2.\overline{3}$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.5

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.5.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$1 + \frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{2}{4}$

Этап 11.5.3

Левая часть $1.4$ больше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 \leq x < - 1$ или $0 < x \leq 1$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 2, - 1) \cup (0, 1]$

Этап 14