Основы мат. анализа Примеры

$| 5 - 2 x | > 3$

Этап 1

Запишем $| 5 - 2 x | > 3$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$5 - 2 x \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$- 2 x \geq - 5$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- 2 x \geq - 5$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 x \geq - 5$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{- 5}{- 2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{- 5}{- 2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 5}{- 2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x \leq \frac{5}{2}$

Этап 1.3

В части, где $5 - 2 x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$5 - 2 x > 3$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$5 - 2 x < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$- 2 x < - 5$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $- 2 x < - 5$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $- 2 x < - 5$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- 5}{- 2}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- 5}{- 2}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 5}{- 2}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x > \frac{5}{2}$

Этап 1.6

В части, где $5 - 2 x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (5 - 2 x) > 3$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 5 - 2 x > 3 & x \leq \frac{5}{2} \\ - (5 - 2 x) > 3 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $- (5 - 2 x) > 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 5 - 2 x > 3 & x \leq \frac{5}{2} \\ - 1 \cdot 5 - (- 2 x) > 3 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.8.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

${\begin{cases} 5 - 2 x > 3 & x \leq \frac{5}{2} \\ - 5 - (- 2 x) > 3 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.8.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 5 - 2 x > 3 & x \leq \frac{5}{2} \\ - 5 + 2 x > 3 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 2

Решим $5 - 2 x > 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$- 2 x > 3 - 5$

Этап 2.1.2

Вычтем $5$ из $3$ .

$- 2 x > - 2$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 2 x > - 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 2 x > - 2$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{- 2}{- 2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{- 2}{- 2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 2}{- 2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 2$ .

$x < 1$

Этап 3

Решим $- 5 + 2 x > 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$2 x > 3 + 5$

Этап 3.1.2

Добавим $3$ и $5$ .

$2 x > 8$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 x > 8$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 x > 8$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{8}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} > \frac{8}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{8}{2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $8$ на $2$ .

$x > 4$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$x < 1$ или $x > 4$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 1) \cup (4, \infty)$

Этап 6