Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 3 x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3$ .

$x (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, 3, - 1$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 < 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 84$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.5$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 0.5$ в исходном неравенстве.

${(- 0.5)}^{3} - 2 {(- 0.5)}^{2} - 3 \cdot - 0.5 < 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $0.875$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 < 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 6$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{3} - 2 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 < 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $126$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 1$ или $0 < x < 3$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 1) \cup (0, 3)$

Этап 12