Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$

Этап 1

Разложим $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Этап 1.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

Этап 1.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $0.125$ .

$0.5 + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

Этап 1.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$0.5 + 4 \cdot 0.25 - 7 \cdot 0.5 + 2$

Этап 1.3.5

Умножим $4$ на $0.25$ .

$0.5 + 1 - 7 \cdot 0.5 + 2$

Этап 1.3.6

Добавим $0.5$ и $1$ .

$1.5 - 7 \cdot 0.5 + 2$

Этап 1.3.7

Умножим $- 7$ на $0.5$ .

$1.5 - 3.5 + 2$

Этап 1.3.8

Вычтем $3.5$ из $1.5$ .

$- 2 + 2$

Этап 1.3.9

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2}{2 x - 1}$

Этап 1.5

Разделим $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$2$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{2} - 3 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x + 2$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							+	$4 x$	-	$2$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + 3 x - 2$

Этап 1.6

Запишем $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) (2 x^{2} + 3 x - 2)$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$(2 x - 1) (2 x^{2} + 3 (x) - 2)$

Этап 2.1.1.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$(2 x - 1) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 1) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x - 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(2 x - 1) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x - 1) (2 x - 1) (x + 2)$

Этап 3

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $2 x - 1$ в степень $1$ .

${(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1) (x + 2)$

Этап 3.2

Возведем $2 x - 1$ в степень $1$ .

${(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1} (x + 2)$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(2 x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(2 x - 1)}^{2} (x + 2)$