Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10$ к $0$ .

$x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- x^{3} + 5 x + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3} + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 5 x + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $5 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 5 + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x^{2}) - x (- 5)$ .

$- x (x^{2} - 5) + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x (x^{2} - 5) + u^{2} - 7 u + 10 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $u^{2} - 7 u + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $- 7$ .

$- 5, - 2$

Этап 2.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 2) = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x^{2} - 5$ из $- x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} - 5$ из $- x (x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 5) (- x) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} - 5$ из $(x^{2} - 5) (- x) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 5) (- x + x^{2} - 2) = 0$

Этап 2.1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} - 5) (- u + u^{2} - 2) = 0$

Этап 2.1.9

Разложим $- u + u^{2} - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 2.1.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} - 5) ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} - 5) ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Этап 2.1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} - 5) (x - 2) (x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} - 5$ к $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 5$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Этап 2.3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

Этап 2.3.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 2.3.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 5) (x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 2, - 1$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 2, - 1$

Десятичная форма:

$x = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots, 2, - 1$

Этап 4