Основы мат. анализа Примеры

$p (x) = 12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$

Этап 1

Приравняем $12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ к $0$ .

$12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим $12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 5, \pm 0.41\overline{6}, \pm 2.5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 1.\overline{6}, \pm 1.25$

Этап 2.1.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$12 {(- 1)}^{3} + 16 {(- 1)}^{2} + 1 - 5$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$12 \cdot - 1 + 16 {(- 1)}^{2} + 1 - 5$

Этап 2.1.1.3.3

Умножим $12$ на $- 1$ .

$- 12 + 16 {(- 1)}^{2} + 1 - 5$

Этап 2.1.1.3.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 12 + 16 \cdot 1 + 1 - 5$

Этап 2.1.1.3.5

Умножим $16$ на $1$ .

$- 12 + 16 + 1 - 5$

Этап 2.1.1.3.6

Добавим $- 12$ и $16$ .

$4 + 1 - 5$

Этап 2.1.1.3.7

Добавим $4$ и $1$ .

$5 - 5$

Этап 2.1.1.3.8

Вычтем $5$ из $5$ .

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5}{x + 1}$

Этап 2.1.1.5

Разделим $12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$5$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$12 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			+	$12 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{3} + 12 x^{2}$ .

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} + 4 x$ .

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$
							-	$5 x$	-	$5$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 x - 5$ .

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$
							+	$5 x$	+	$5$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$
							+	$5 x$	+	$5$
										$0$

Этап 2.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$12 x^{2} + 4 x - 5$

Этап 2.1.1.6

Запишем $12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (12 x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 12 \cdot - 5 = - 60$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$(x + 1) (12 x^{2} + 4 (x) - 5) = 0$

Этап 2.1.2.1.1.2

Запишем $4$ как $- 6$ плюс $10$

$(x + 1) (12 x^{2} + (- 6 + 10) x - 5) = 0$

Этап 2.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (12 x^{2} - 6 x + 10 x - 5) = 0$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) ((12 x^{2} - 6 x) + 10 x - 5) = 0$

Этап 2.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) (6 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

Этап 2.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(x + 1) ((2 x - 1) (6 x + 5)) = 0$

Этап 2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (2 x - 1) (6 x + 5) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$6 x + 5 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.5

Приравняем $6 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $6 x + 5$ к $0$ .

$6 x + 5 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $6 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$6 x = - 5$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $6 x = - 5$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $6 x = - 5$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{6}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{6}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (2 x - 1) (6 x + 5) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{1}{2}, - \frac{5}{6}$

Этап 3