Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{3 - x} + \sqrt{x^{2} - 1}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 - x \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 3$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 3$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x \leq 3$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} - 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 1 \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \geq 1$

Этап 4.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{1}$

Этап 4.3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{1}$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| x | \geq 1$

Этап 4.4

Запишем $| x | \geq 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 4.4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq 1$

Этап 4.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 4.4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq 1$

Этап 4.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq 1 & x \geq 0 \\ - x \geq 1 & x < 0 \end{cases}$

Этап 4.5

Найдем пересечение $x \geq 1$ и $x \geq 0$ .

$x \geq 1$

Этап 4.6

Разделим каждый член $- x \geq 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Разделим каждый член $- x \geq 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{1}{- 1}$

Этап 4.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{1}{- 1}$

Этап 4.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{1}{- 1}$

Этап 4.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x \leq - 1$

Этап 4.7

Найдем объединение решений.

$x \leq - 1$ или $x \geq 1$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1] \cup [1, 3]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 1, 1 \leq x \leq 3}$

Этап 6