Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ в виде уравнения.

$y = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{9}{y^{2}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{9}{y^{2}} = x$ .

$\frac{9}{y^{2}} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{2}, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{2}$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{9}{y^{2}} = x$ умножим на $y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{9}{y^{2}} = x$ на $y^{2}$ .

$\frac{9}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$9 = x y^{2}$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $x y^{2} = 9$ .

$x y^{2} = 9$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $x y^{2} = 9$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $x y^{2} = 9$ на $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{9}{x}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{9}{x}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{9}{x}$

Этап 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{9}{x}}$

Этап 3.4.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{9}{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{9}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{x}}$

Этап 3.4.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{x}}$

Этап 3.4.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm \frac{3}{\sqrt{x}}$

Этап 3.4.4.3

Умножим $\frac{3}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{3}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Этап 3.4.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.4.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Этап 3.4.4.4.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Этап 3.4.4.4.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Этап 3.4.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 3.4.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{1}}$

Этап 3.4.4.4.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Этап 3.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Этап 3.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Этап 3.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ обратной к $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{3 \sqrt{x}}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 5.3.2

Зададим знаменатель в $\frac{3 \sqrt{x}}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{9}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ , представляет область определения $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ — обратная к $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Этап 6