Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - \frac{7}{2} x - 3$

Этап 1

Запишем $f (x) = - \frac{7}{2} x - 3$ в виде уравнения.

$y = - \frac{7}{2} x - 3$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{7}{2} y - 3$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{7}{2} y - 3 = x$ .

$- \frac{7}{2} y - 3 = x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $y$ и $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{y \cdot 7}{2} - 3 = x$

Этап 3.2.2

Перенесем $7$ влево от $y$ .

$- \frac{7 y}{2} - 3 = x$

Этап 3.3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- \frac{7 y}{2} = x + 3$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $- \frac{2}{7}$ .

$- \frac{2}{7} (- \frac{7 y}{2}) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим $- \frac{2}{7} (- \frac{7 y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{7}$ в числитель.

$\frac{- 2}{7} (- \frac{7 y}{2}) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Этап 3.5.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7 y}{2}$ в числитель.

$\frac{- 2}{7} \cdot \frac{- 7 y}{2} = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Этап 3.5.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{7} \cdot \frac{- 7 y}{2} = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Этап 3.5.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{7} \cdot \frac{- 7 y}{2} = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Этап 3.5.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{7} (- 7 y) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Этап 3.5.1.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7 y$ .

$\frac{- 1}{7} (7 (- y)) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Этап 3.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{7} (7 (- y)) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Этап 3.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - y = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Этап 3.5.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Этап 3.5.1.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - \frac{2}{7} (x + 3)$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $- \frac{2}{7} (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{2}{7} x - \frac{2}{7} \cdot 3$

Этап 3.5.2.1.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{7} - \frac{2}{7} \cdot 3$

Этап 3.5.2.1.3

Умножим $- \frac{2}{7} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{7} - 3 (\frac{2}{7})$

Этап 3.5.2.1.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{7} + \frac{- 3 \cdot 2}{7}$

Этап 3.5.2.1.3.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{7} + \frac{- 6}{7}$

Этап 3.5.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.4.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y = - \frac{2 \cdot x}{7} + \frac{- 6}{7}$

Этап 3.5.2.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$ обратной к $f (x) = - \frac{7}{2} x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = - \frac{2 (- \frac{7}{2} x - 3)}{7} - \frac{6}{7}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 (- \frac{7}{2} x - 3) - 6}{7}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Объединим $x$ и $\frac{7}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 (- \frac{x \cdot 7}{2} - 3) - 6}{7}$

Этап 5.2.4.1.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 (- \frac{7 x}{2} - 3) - 6}{7}$

Этап 5.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 (- \frac{7 x}{2}) - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7 x}{2}$ в числитель.

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 \frac{- 7 x}{2} - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

Этап 5.2.4.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{2 (- 1) (\frac{- 7 x}{2}) - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

Этап 5.2.4.3.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{- 7 x}{2}) - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

Этап 5.2.4.3.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 1 (- 7 x) - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

Этап 5.2.4.4

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

Этап 5.2.4.5

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x + 6 - 6}{7}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим противоположные члены в $7 x + 6 - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Вычтем $6$ из $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x + 0}{7}$

Этап 5.2.5.1.2

Добавим $7 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x}{7}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x}{7}$

Этап 5.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) - 3$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{2 x}{7}) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 7}{2} \cdot (- \frac{2 x}{7}) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Этап 5.3.3.2.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x}{7}$ в числитель.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 7}{2} \cdot \frac{- 2 x}{7} - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{7 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{7} - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Этап 5.3.3.2.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{7 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{7} - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Этап 5.3.3.2.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = - 1 (- x) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Этап 5.3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = 1 x - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Этап 5.3.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Этап 5.3.3.6

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

Этап 5.3.3.6.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{6}{7}$ в числитель.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 7}{2} \cdot \frac{- 6}{7} - 3$

Этап 5.3.3.6.3

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{7 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 6}{7} - 3$

Этап 5.3.3.6.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{7 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 6}{7} - 3$

Этап 5.3.3.6.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 1}{2} \cdot - 6 - 3$

Этап 5.3.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 3)) - 3$

Этап 5.3.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 3) - 3$

Этап 5.3.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x - 1 \cdot - 3 - 3$

Этап 5.3.3.8

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + 3 - 3$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$ — обратная к $f (x) = - \frac{7}{2} x - 3$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$