Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{5}{x - 2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{5}{x - 2}$ в виде уравнения.

$y = \frac{5}{x - 2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{5}{y - 2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{5}{y - 2} = x$ .

$\frac{5}{y - 2} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 2, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y - 2, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y - 2$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{5}{y - 2} = x$ умножим на $y - 2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{5}{y - 2} = x$ на $y - 2$ .

$\frac{5}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$5 = x (y - 2)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = x y + x \cdot - 2$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$5 = x y - 2 x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $x y - 2 x = 5$ .

$x y - 2 x = 5$

Этап 3.4.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$x y = 5 + 2 x$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $x y = 5 + 2 x$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $x y = 5 + 2 x$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{5}{x} + \frac{2 x}{x}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{5}{x} + \frac{2 x}{x}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5}{x} + \frac{2 x}{x}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{5}{x} + \frac{2 x}{x}$

Этап 3.4.3.3.1.2

Разделим $2$ на $1$ .

$y = \frac{5}{x} + 2$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5}{x} + 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5}{x} + 2$ обратной к $f (x) = \frac{5}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{5}{x - 2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{x - 2}) = \frac{5}{\frac{5}{x - 2}} + 2$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{5}{x - 2}) = 5 (\frac{x - 2}{5}) + 2$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{5}{x - 2}) = 5 (\frac{x - 2}{5}) + 2$

Этап 5.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{5}{x - 2}) = x - 2 + 2$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{x - 2}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{x - 2}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{5}{x} + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{(\frac{5}{x} + 2) - 2}$

Этап 5.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{\frac{5}{x} + 0}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\frac{5}{x}$ и $0$ .

$f (\frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{\frac{5}{x}}$

Этап 5.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5}{x} + 2) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5}{x} + 2) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5}{x} + 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5}{x} + 2$ — обратная к $f (x) = \frac{5}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5}{x} + 2$