Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x - 3}{x + 2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y - 3}{y + 2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y - 3}{y + 2} = x$ .

$\frac{y - 3}{y + 2} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y + 2, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y + 2, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y + 2$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{y - 3}{y + 2} = x$ умножим на $y + 2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{y - 3}{y + 2} = x$ на $y + 2$ .

$\frac{y - 3}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 3}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y - 3 = x (y + 2)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 3 = x y + x \cdot 2$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y - 3 = x y + 2 x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$y - 3 - x y = 2 x$

Этап 3.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y - x y = 2 x + 3$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 2 x + 3$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 2 x + 3$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 2 x + 3$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (1 - x) = 2 x + 3$ на $1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (1 - x) = 2 x + 3$ на $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x} + \frac{3}{1 - x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x} + \frac{3}{1 - x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x}{1 - x} + \frac{3}{1 - x}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 x + 3}{1 - x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{1 - x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{1 - x}$ обратной к $f (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{2 (\frac{x - 3}{x + 2}) + 3}{1 - (\frac{x - 3}{x + 2})}$

Этап 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{2 \frac{x - 3}{x + 2} + 3}{1 - \frac{x - 3}{x + 2}}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{x + 2}{x + 2} \cdot \frac{2 (\frac{x - 3}{x + 2}) + 3}{1 - \frac{x - 3}{x + 2}}$

Этап 5.2.3.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2}) + 3)}{(x + 2) (1 - \frac{x - 3}{x + 2})}$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 + (x + 2) (- \frac{x - 3}{x + 2})}$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x - 3}{x + 2}$ в числитель.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 + (x + 2) (\frac{- (x - 3)}{x + 2})}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 + (x + 2) (\frac{- (x - 3)}{x + 2})}$

Этап 5.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) \cdot 2 \frac{x - 3}{x + 2} + (x + 2) \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) \cdot 2 \frac{x - 3}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6.1.2

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) (3)}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6.1.3

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) (2 \frac{x - 3}{x + 2}) + (x + 2) (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2}) + 3)}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6.2

Объединим $2$ и $\frac{x - 3}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{2 (x - 3)}{x + 2} + 3)}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{2 (x - 3)}{x + 2} + \frac{3 (x + 2)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{2 (x - 3) + 3 (x + 2)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6.5

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6.6

Перепишем $\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x + 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 2 (x - 3)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6.6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 x + 6 + 2 (x - 3)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 x + 6 + 2 x + 2 \cdot - 3}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6.6.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 x + 6 + 2 x - 6}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6.6.5

Добавим $3 x$ и $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x + 6 - 6}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6.6.6

Вычтем $6$ из $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x + 0}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.6.6.7

Добавим $5 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Этап 5.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{x + 2 - (x - 3)}$

Этап 5.2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{x + 2 - x + 3}$

Этап 5.2.7.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{x + 2 - x + 3}$

Этап 5.2.7.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{0 + 2 + 3}$

Этап 5.2.7.5

Добавим $0$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{2 + 3}$

Этап 5.2.7.6

Добавим $2$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{5}$

Этап 5.2.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Вынесем множитель $\frac{5 x}{x + 2}$ из $\frac{(x + 2) \frac{5 x}{x + 2}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{5 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{5}$

Этап 5.2.8.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{5 (x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{5}$

Этап 5.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{5 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{5}$

Этап 5.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Этап 5.2.8.3

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Этап 5.2.8.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{2 x + 3}{1 - x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{(\frac{2 x + 3}{1 - x}) - 3}{(\frac{2 x + 3}{1 - x}) + 2}$

Этап 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $\frac{\frac{2 x + 3}{1 - x} - 3}{\frac{2 x + 3}{1 - x} + 2}$ на $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{2 x + 3}{1 - x} - 3}{\frac{2 x + 3}{1 - x} + 2}$

Этап 5.3.3.2

Объединим.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x} - 3)}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x} + 2)}$

Этап 5.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 3}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Этап 5.3.5

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 3}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Этап 5.3.5.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 + (1 - x) \cdot - 3}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 + (1 - x) \cdot - 3}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Этап 5.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 + (1 - x) \cdot - 3}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Этап 5.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 + 1 \cdot - 3 - x \cdot - 3}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Этап 5.3.6.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 - 3 - x \cdot - 3}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Этап 5.3.6.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 - 3 + 3 x}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Этап 5.3.6.4

Добавим $2 x$ и $3 x$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x + 3 - 3}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Этап 5.3.6.5

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x + 0}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Этап 5.3.6.6

Добавим $5 x$ и $0$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Этап 5.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{2 x + 3 + 1 \cdot 2 - x \cdot 2}$

Этап 5.3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{2 x + 3 + 2 - x \cdot 2}$

Этап 5.3.7.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{2 x + 3 + 2 - 2 x}$

Этап 5.3.7.4

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{0 + 3 + 2}$

Этап 5.3.7.5

Добавим $0$ и $3$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{3 + 2}$

Этап 5.3.7.6

Добавим $3$ и $2$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.3.8.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{1 - x}$ — обратная к $f (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{1 - x}$