Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{2 x + 1}{x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2 y + 1}{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2 y + 1}{y} = x$ .

$\frac{2 y + 1}{y} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{2 y + 1}{y} = x$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{2 y + 1}{y} = x$ на $y$ .

$\frac{2 y + 1}{y} y = x y$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y + 1}{y} y = x y$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 y + 1 = x y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$2 y + 1 - x y = 0$

Этап 3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 y - x y = - 1$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $2 y - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y \cdot 2 - x y = - 1$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$y \cdot 2 + y (- x) = - 1$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 2 + y (- x)$ .

$y (2 - x) = - 1$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (2 - x) = - 1$ на $2 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (2 - x) = - 1$ на $2 - x$ .

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 1}{2 - x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 1}{2 - x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 - x}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{2 - x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$ обратной к $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{2 - (\frac{2 x + 1}{x})}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x}{x} - \frac{2 x + 1}{x}}$

Этап 5.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - (2 x + 1)}{x}}$

Этап 5.2.3.3

Перепишем $\frac{2 x - (2 x + 1)}{x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - (2 x) - 1 \cdot 1}{x}}$

Этап 5.2.3.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - 2 x - 1 \cdot 1}{x}}$

Этап 5.2.3.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - 2 x - 1}{x}}$

Этап 5.2.3.3.4

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{0 - 1}{x}}$

Этап 5.2.3.3.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{- 1}{x}}$

Этап 5.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{- \frac{1}{x}}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{x}}$

Этап 5.2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = 1 x$

Этап 5.2.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{1}{2 - x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{2 (- \frac{1}{2 - x}) + 1}{- \frac{1}{2 - x}}$

Этап 5.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (2 (- \frac{1}{2 - x}) + 1) (- (2 - x))$

Этап 5.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Умножим $2 (- \frac{1}{2 - x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- 2 \frac{1}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Этап 5.3.4.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 - x}$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (\frac{- 2}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Этап 5.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- \frac{2}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Этап 5.3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- \frac{2}{2 - x} + \frac{2 - x}{2 - x}) (- (2 - x))$

Этап 5.3.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x} \cdot (- (2 - x))$

Этап 5.3.5.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Этап 5.3.5.4

Сократим общий множитель $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x}$ в числитель.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 + 2 - x)}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Этап 5.3.5.4.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 + 2 - x)}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Этап 5.3.5.4.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - (- 2 + 2 - x)$

Этап 5.3.5.5

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.5.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - (0 - x)$

Этап 5.3.5.5.2

Вычтем $x$ из $0$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$ — обратная к $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$