Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2 - x}{3 + x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{2 - x}{3 + x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{2 - x}{3 + x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2 - y}{3 + y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2 - y}{3 + y} = x$ .

$\frac{2 - y}{3 + y} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 + y, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$3 + y, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$3 + y$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{2 - y}{3 + y} = x$ умножим на $3 + y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{2 - y}{3 + y} = x$ на $3 + y$ .

$\frac{2 - y}{3 + y} (3 + y) = x (3 + y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $3 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 - y}{3 + y} (3 + y) = x (3 + y)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 - y = x (3 + y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 - y = x \cdot 3 + x y$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$2 - y = 3 x + x y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$2 - y - x y = 3 x$

Этап 3.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- y - x y = 3 x - 2$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $- y - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y \cdot - 1 - x y = 3 x - 2$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$y \cdot - 1 + y (- x) = 3 x - 2$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 1 + y (- x)$ .

$y (- 1 - x) = 3 x - 2$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (- 1 - x) = 3 x - 2$ на $- 1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (- 1 - x) = 3 x - 2$ на $- 1 - x$ .

$\frac{y (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{3 x}{- 1 - x} + \frac{- 2}{- 1 - x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{3 x}{- 1 - x} + \frac{- 2}{- 1 - x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3 x}{- 1 - x} + \frac{- 2}{- 1 - x}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{3 x - 2}{- 1 - x}$

Этап 3.4.4.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = \frac{3 x - 2}{- 1 (1) - x}$

Этап 3.4.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y = \frac{3 x - 2}{- 1 (1) - (x)}$

Этап 3.4.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (x)$ .

$y = \frac{3 x - 2}{- 1 (1 + x)}$

Этап 3.4.4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3 x - 2}{1 + x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x - 2}{1 + x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x - 2}{1 + x}$ обратной к $f (x) = \frac{2 - x}{3 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{3 (\frac{2 - x}{3 + x}) - 2}{1 + \frac{2 - x}{3 + x}}$

Этап 5.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{3 (\frac{2 - x}{3 + x}) - 2}{1 + \frac{2 - x}{3 + x}}$

Этап 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $\frac{3 \frac{2 - x}{3 + x} - 2}{1 + \frac{2 - x}{3 + x}}$ на $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{3 + x}{3 + x} \cdot \frac{3 (\frac{2 - x}{3 + x}) - 2}{1 + \frac{2 - x}{3 + x}})$

Этап 5.2.4.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x}) - 2)}{(3 + x) (1 + \frac{2 - x}{3 + x})}$

Этап 5.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x})) + (3 + x) \cdot - 2}{(3 + x) \cdot 1 + (3 + x) (\frac{2 - x}{3 + x})}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $3 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x})) + (3 + x) \cdot - 2}{(3 + x) \cdot 1 + (3 + x) (\frac{2 - x}{3 + x})}$

Этап 5.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x})) + (3 + x) \cdot - 2}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Вынесем множитель $3 + x$ из $(3 + x) \cdot 3 \frac{2 - x}{3 + x} + (3 + x) \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.1

Вынесем множитель $3 + x$ из $(3 + x) \cdot 3 \frac{2 - x}{3 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x})) + (3 + x) \cdot - 2}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.1.2

Вынесем множитель $3 + x$ из $(3 + x) \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x})) + (3 + x) (- 2)}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.1.3

Вынесем множитель $3 + x$ из $(3 + x) (3 \frac{2 - x}{3 + x}) + (3 + x) (- 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (3 (\frac{2 - x}{3 + x}) - 2)}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.2

Объединим $3$ и $\frac{2 - x}{3 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{3 (2 - x)}{3 + x} - 2)}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.3

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{3 (2 - x)}{3 + x} - 2 \cdot \frac{3 + x}{3 + x})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.4

Объединим $- 2$ и $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{3 (2 - x)}{3 + x} + \frac{- 2 (3 + x)}{3 + x})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{3 (2 - x) - 2 (3 + x)}{3 + x})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.6

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{3 (2 - x) - 2 (3 + x)}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.7

Перепишем $\frac{3 (2 - x) - 2 (3 + x)}{x + 3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x) - 2 (3 + x)}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.7.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{6 + 3 (- x) - 2 (3 + x)}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.7.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{6 - 3 x - 2 (3 + x)}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{6 - 3 x - 2 \cdot 3 - 2 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.7.5

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{6 - 3 x - 6 - 2 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.7.6

Вычтем $6$ из $6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{- 3 x + 0 - 2 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.7.7

Добавим $- 3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{- 3 x - 2 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.7.8

Вычтем $2 x$ из $- 3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (\frac{- 5 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) (- \frac{(5) x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.9

Избавимся от ненужных скобок.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{(3 + x) \cdot (- 1 \frac{5 x}{x + 3})}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.7.10

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- (3 + x) \frac{5 x}{x + 3}}{(3 + x) \cdot 1 + 2 - x}$

Этап 5.2.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Умножим $3 + x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- (3 + x) \frac{5 x}{x + 3}}{3 + x + 2 - x}$

Этап 5.2.8.2

Добавим $3$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- (3 + x) \frac{5 x}{x + 3}}{x + 5 - x}$

Этап 5.2.8.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- (3 + x) \frac{5 x}{x + 3}}{0 + 5}$

Этап 5.2.8.4

Добавим $0$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- (3 + x) \frac{5 x}{x + 3}}{5}$

Этап 5.2.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Вынесем множитель $\frac{5 x}{x + 3}$ из $\frac{- (3 + x) \frac{5 x}{x + 3}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{5 x}{x + 3} \cdot \frac{- (3 + x)}{5})$

Этап 5.2.9.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{5 (x)}{x + 3} \cdot \frac{- (3 + x)}{5})$

Этап 5.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{5 x}{x + 3} \cdot \frac{- (3 + x)}{5})$

Этап 5.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{x}{x + 3} \cdot (- (3 + x)))$

Этап 5.2.9.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (- \frac{x}{x + 3} \cdot (3 + x))$

Этап 5.2.9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (- \frac{x}{x + 3} \cdot 3 - \frac{x}{x + 3} \cdot x)$

Этап 5.2.10

Умножим $- \frac{x}{x + 3} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (- 3 \frac{x}{x + 3} - \frac{x}{x + 3} \cdot x)$

Этап 5.2.10.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x}{x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{- 3 x}{x + 3} - \frac{x}{x + 3} \cdot x)$

Этап 5.2.11

Умножим $- \frac{x}{x + 3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.1

Объединим $x$ и $\frac{x}{x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{- 3 x}{x + 3} - \frac{x \cdot x}{x + 3})$

Этап 5.2.11.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{- 3 x}{x + 3} - \frac{x \cdot x}{x + 3})$

Этап 5.2.11.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{- 3 x}{x + 3} - \frac{x \cdot x}{x + 3})$

Этап 5.2.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{- 3 x}{x + 3} - \frac{x^{1 + 1}}{x + 3})$

Этап 5.2.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (\frac{- 3 x}{x + 3} - \frac{x^{2}}{x + 3})$

Этап 5.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- 3 x - x^{2}}{x + 3}$

Этап 5.2.13

Изменим порядок $- 3 x$ и $- x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{- x^{2} - 3 x}{x + 3}$

Этап 5.2.14

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.14.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- x) - 3 x}{x + 3}$

Этап 5.2.14.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- x) + x \cdot - 3}{x + 3}$

Этап 5.2.14.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x) + x \cdot - 3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- x - 3)}{x + 3}$

Этап 5.2.15

Сократим общий множитель $- x - 3$ и $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.15.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- (x) - 3)}{x + 3}$

Этап 5.2.15.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- (x) - 1 \cdot 3)}{x + 3}$

Этап 5.2.15.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- (x + 3))}{x + 3}$

Этап 5.2.15.4

Перепишем $- (x + 3)$ в виде $- 1 (x + 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- 1 (x + 3))}{x + 3}$

Этап 5.2.15.5

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - \frac{x (- 1 (x + 3))}{x + 3}$

Этап 5.2.15.6

Разделим $x \cdot (- 1)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (x \cdot (- 1))$

Этап 5.2.16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.16.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = - (- 1 x)$

Этап 5.2.16.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 - x}{3 + x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{3 x - 2}{1 + x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{2 - (- \frac{3 x - 2}{1 + x})}{3 - \frac{3 x - 2}{1 + x}}$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{2 - (- \frac{3 x - 2}{1 + x})}{3 - \frac{3 x - 2}{1 + x}}$

Этап 5.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Умножим $\frac{2 - - \frac{3 x - 2}{1 + x}}{3 - \frac{3 x - 2}{1 + x}}$ на $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{1 + x}{1 + x} \cdot \frac{2 + \frac{3 x - 2}{1 + x}}{3 - \frac{3 x - 2}{1 + x}}$

Этап 5.3.4.2

Объединим.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (2 + \frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) (3 - \frac{3 x - 2}{1 + x})}$

Этап 5.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) \cdot 2 + (1 + x) (\frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 + (1 + x) (- \frac{3 x - 2}{1 + x})}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 x - 2}{1 + x}$ в числитель.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) \cdot 2 + (1 + x) (\frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 + (1 + x) (\frac{- (3 x - 2)}{1 + x})}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) \cdot 2 + (1 + x) (\frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 + (1 + x) (\frac{- (3 x - 2)}{1 + x})}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) \cdot 2 + (1 + x) (\frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $1 + x$ из $(1 + x) \cdot 2 + (1 + x) (- - \frac{3 x - 2}{1 + x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1.1

Вынесем множитель $1 + x$ из $(1 + x) \cdot 2$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (2) + (1 + x) (\frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.7.1.2

Вынесем множитель $1 + x$ из $(1 + x) (2) + (1 + x) (- - \frac{3 x - 2}{1 + x})$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (2 + \frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.7.2

Умножим $- - \frac{3 x - 2}{1 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (2 + 1 (\frac{3 x - 2}{1 + x}))}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.7.2.2

Умножим $\frac{3 x - 2}{1 + x}$ на $1$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (2 + \frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.7.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{2 (1 + x)}{1 + x} + \frac{3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{2 (1 + x) + 3 x - 2}{1 + x})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.7.5

Изменим порядок членов.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{3 x + 2 (1 + x) - 2}{x + 1})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.7.6

Перепишем $\frac{3 x + 2 (1 + x) - 2}{x + 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{3 x + 2 \cdot 1 + 2 x - 2}{x + 1})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.7.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{3 x + 2 + 2 x - 2}{x + 1})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.7.6.3

Добавим $3 x$ и $2 x$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x + 2 - 2}{x + 1})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.7.6.4

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x + 0}{x + 1})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.7.6.5

Добавим $5 x$ и $0$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{(1 + x) \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{1 \cdot 3 + x \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.8.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{3 + x \cdot 3 - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.8.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{3 + 3 \cdot x - (3 x - 2)}$

Этап 5.3.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{3 + 3 x - (3 x) + 2}$

Этап 5.3.8.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{3 + 3 x - 3 x + 2}$

Этап 5.3.8.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{3 + 3 x - 3 x + 2}$

Этап 5.3.8.7

Добавим $3$ и $2$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{3 x - 3 x + 5}$

Этап 5.3.8.8

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{0 + 5}$

Этап 5.3.8.9

Добавим $0$ и $5$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{5 x}{x + 1})}{5}$

Этап 5.3.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Вынесем множитель $\frac{5 x}{x + 1}$ из $\frac{(1 + x) \frac{5 x}{x + 1}}{5}$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{5 x}{x + 1} \cdot \frac{1 + x}{5}$

Этап 5.3.9.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{5 (x)}{x + 1} \cdot \frac{1 + x}{5}$

Этап 5.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{5 x}{x + 1} \cdot \frac{1 + x}{5}$

Этап 5.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{x}{x + 1} \cdot (1 + x)$

Этап 5.3.9.3

Умножим $\frac{x}{x + 1}$ на $1 + x$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{x (1 + x)}{x + 1}$

Этап 5.3.9.4

Сократим общий множитель $1 + x$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.4.1

Изменим порядок членов.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{x (x + 1)}{x + 1}$

Этап 5.3.9.4.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = \frac{x (x + 1)}{x + 1}$

Этап 5.3.9.4.3

Разделим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{3 x - 2}{1 + x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x - 2}{1 + x}$ — обратная к $f (x) = \frac{2 - x}{3 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x - 2}{1 + x}$