Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ в виде уравнения.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $1 + \sqrt{1 + y} = x$ .

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + y}$ в виде ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Этап 3.4.3.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Этап 3.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Этап 3.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.4.3.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.4.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.4.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Этап 3.4.3.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Этап 3.5

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Этап 3.5.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Этап 3.5.2.2

Добавим $x^{2} - 2 x$ и $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ обратной к $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = {(1 + \sqrt{1 + x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем ${(1 + \sqrt{1 + x})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = (1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.2

Развернем $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 (1 + \sqrt{1 + x}) + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.1.2

Умножим $\sqrt{1 + x}$ на $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.1.3

Умножим $\sqrt{1 + x}$ на $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.1.4

Умножим $\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.4.1

Возведем $\sqrt{1 + x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{1 + x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ в виде $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x}$ в виде ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.1.5.5

Упростим.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.3.3

Добавим $\sqrt{1 + x}$ и $\sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Этап 5.2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{1 + x}$

Этап 5.2.3.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 0 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Этап 5.2.4.2

Добавим $0$ и $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Этап 5.2.4.3

Вычтем $2 \sqrt{1 + x}$ из $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x + 0$

Этап 5.2.4.4

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{2} - 2 x)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Этап 5.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Переставляем члены.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 - 2 x + x^{2}}$

Этап 5.3.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 x + x^{2}}$

Этап 5.3.4.1.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Этап 5.3.4.1.4

Перепишем многочлен.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}}$

Этап 5.3.4.1.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + 1 - x$

Этап 5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 2 - x$

Этап 5.3.5.2

Изменим порядок $2$ и $- x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = - x + 2$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ — обратная к $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$