Основы мат. анализа Примеры

$x - 3 y + 4 z = - 3$ , $3 x + y - z = 4$ , $- 2 x + 2 y + 3 z = - 5$

Этап 1

Выберем два уравнения и исключим одну переменную. В данном случае исключим $x$ .

$x - 3 y + 4 z = - 3$

$3 x + y - z = 4$

Этап 2

Исключим $x$ из системы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждое уравнение на значение, которое сделает коэффициенты $x$ противоположными.

$(- 3) \cdot (x - 3 y + 4 z) = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим $(- 3) \cdot (x - 3 y + 4 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x - 3 (- 3 y) - 3 (4 z) = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

Этап 2.2.1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$- 3 x + 9 y - 3 (4 z) = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

Этап 2.2.1.1.2.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$- 3 x + 9 y - 12 z = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$- 3 x + 9 y - 12 z = 9$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = 9$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = 9$

$3 x + y - z = 4$

Этап 2.3

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $x$ из системы.

	$-$	$3$	$x$	$+$	$9$	$y$	$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$			$-$	$z$	$=$	$4$
				$1$	$0$	$y$	$-$	$1$	$3$	$z$	$=$	$1$	$3$

Этап 2.4

В результирующем уравнении выражение $x$ исключено.

$10 y - 13 z = 13$

Этап 3

Выберем еще два уравнения и исключим $x$ .

$3 x + y - z = 4$

$- 2 x + 2 y + 3 z = - 5$

Этап 4

Исключим $x$ из системы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждое уравнение на значение, которое сделает коэффициенты $x$ противоположными.

$(2) \cdot (3 x + y - z) = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $(2) \cdot (3 x + y - z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (3 x) + 2 y + 2 (- z) = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

Этап 4.2.1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x + 2 y + 2 (- z) = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

Этап 4.2.1.1.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 x + 2 y - 2 z = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

Этап 4.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим $(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$3 (- 2 x) + 3 (2 y) + 3 (3 z) = (3) (- 5)$

Этап 4.2.3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 3 (2 y) + 3 (3 z) = (3) (- 5)$

Этап 4.2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 3 (3 z) = (3) (- 5)$

Этап 4.2.3.1.2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = (3) (- 5)$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $3$ на $- 5$ .

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = - 15$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = - 15$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = - 15$

Этап 4.3

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $x$ из системы.

		$6$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$			$8$
$+$	$-$	$6$	$x$	$+$	$6$	$y$	$+$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
					$8$	$y$	$+$	$7$	$z$	$=$		$-$	$7$

Этап 4.4

В результирующем уравнении выражение $x$ исключено.

$8 y + 7 z = - 7$

Этап 5

Возьмем результирующие уравнения и исключим другую переменную. В этом случае исключим $y$ .

$10 y - 13 z = 13$

$8 y + 7 z = - 7$

Этап 6

Исключим $y$ из системы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим каждое уравнение на значение, которое сделает коэффициенты $y$ противоположными.

$(- 4) \cdot (10 y - 13 z) = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим $(- 4) \cdot (10 y - 13 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (10 y) - 4 (- 13 z) = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

Этап 6.2.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.2.1

Умножим $10$ на $- 4$ .

$- 40 y - 4 (- 13 z) = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

Этап 6.2.1.1.2.2

Умножим $- 13$ на $- 4$ .

$- 40 y + 52 z = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $- 4$ на $13$ .

$- 40 y + 52 z = - 52$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

Этап 6.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим $(5) \cdot (8 y + 7 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 40 y + 52 z = - 52$

$5 (8 y) + 5 (7 z) = (5) (- 7)$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $8$ на $5$ .

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 5 (7 z) = (5) (- 7)$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $7$ на $5$ .

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = (5) (- 7)$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $5$ на $- 7$ .

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = - 35$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = - 35$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = - 35$

Этап 6.3

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $y$ из системы.

	$-$	$4$	$0$	$y$	$+$	$5$	$2$	$z$	$=$	$-$	$5$	$2$
$+$		$4$	$0$	$y$	$+$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$3$	$5$
						$8$	$7$	$z$	$=$	$-$	$8$	$7$

Этап 6.4

В результирующем уравнении выражение $y$ исключено.

$87 z = - 87$

Этап 6.5

Разделим каждый член $87 z = - 87$ на $87$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Разделим каждый член $87 z = - 87$ на $87$ .

$\frac{87 z}{87} = \frac{- 87}{87}$

Этап 6.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $87$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{87 z}{87} = \frac{- 87}{87}$

Этап 6.5.2.1.2

Разделим $z$ на $1$ .

$z = \frac{- 87}{87}$

Этап 6.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Разделим $- 87$ на $87$ .

$z = - 1$

Этап 7

Подставим значение $z$ в уравнение с уже исключенным $x$ и решим относительно оставшейся переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим значение $z$ в уравнение с уже исключенным $x$ .

$10 y - 13 \cdot - 1 = 13$

Этап 7.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 13$ на $- 1$ .

$10 y + 13 = 13$

Этап 7.2.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$10 y = 13 - 13$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $13$ из $13$ .

$10 y = 0$

Этап 7.2.3

Разделим каждый член $10 y = 0$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим каждый член $10 y = 0$ на $10$ .

$\frac{10 y}{10} = \frac{0}{10}$

Этап 7.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 y}{10} = \frac{0}{10}$

Этап 7.2.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{0}{10}$

Этап 7.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Разделим $0$ на $10$ .

$y = 0$

Этап 8

Подставим значение всех известных переменных в одно из исходных уравнений и решим относительно последней переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим значение всех известных переменных в одно из исходных уравнений.

$x - 3 \cdot 0 + 4 (- 1) = - 3$

Этап 8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $x - 3 \cdot 0 + 4 (- 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Умножим $- 3$ на $0$ .

$x + 0 + 4 (- 1) = - 3$

Этап 8.2.1.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x + 0 - 4 = - 3$

Этап 8.2.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$x - 4 = - 3$

Этап 8.2.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = - 3 + 4$

Этап 8.2.2.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$x = 1$

Этап 9

Решение системы уравнений может быть представлено в виде точки.

$(1, 0, - 1)$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(1, 0, - 1)$

Форма уравнения:

$x = 1, y = 0, z = - 1$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$9$	$y$	$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$			$-$	$z$	$=$	$4$
				$1$	$0$	$y$	$-$	$1$	$3$	$z$	$=$	$1$	$3$

		$6$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$			$8$
$+$	$-$	$6$	$x$	$+$	$6$	$y$	$+$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
					$8$	$y$	$+$	$7$	$z$	$=$		$-$	$7$

	$-$	$4$	$0$	$y$	$+$	$5$	$2$	$z$	$=$	$-$	$5$	$2$
$+$		$4$	$0$	$y$	$+$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$3$	$5$
						$8$	$7$	$z$	$=$	$-$	$8$	$7$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$9$	$y$	$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$			$-$	$z$	$=$	$4$
				$1$	$0$	$y$	$-$	$1$	$3$	$z$	$=$	$1$	$3$

		$6$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$			$8$
$+$	$-$	$6$	$x$	$+$	$6$	$y$	$+$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
					$8$	$y$	$+$	$7$	$z$	$=$		$-$	$7$

	$-$	$4$	$0$	$y$	$+$	$5$	$2$	$z$	$=$	$-$	$5$	$2$
$+$		$4$	$0$	$y$	$+$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$3$	$5$
						$8$	$7$	$z$	$=$	$-$	$8$	$7$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$9$	$y$	$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$			$-$	$z$	$=$	$4$
				$1$	$0$	$y$	$-$	$1$	$3$	$z$	$=$	$1$	$3$

		$6$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$			$8$
$+$	$-$	$6$	$x$	$+$	$6$	$y$	$+$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
					$8$	$y$	$+$	$7$	$z$	$=$		$-$	$7$

	$-$	$4$	$0$	$y$	$+$	$5$	$2$	$z$	$=$	$-$	$5$	$2$
$+$		$4$	$0$	$y$	$+$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$3$	$5$
						$8$	$7$	$z$	$=$	$-$	$8$	$7$