Основы мат. анализа Примеры

$x + y + 1 = 0$ , $x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 x = - 1$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x + 1 = - y$

$x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 x = - 1$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - y - 1$

$x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 x = - 1$

$x = - y - 1$

$x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 x = - 1$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $- y - 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 x = - 1$ на $- y - 1$ .

${(- y - 1)}^{2} + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(- y - 1)}^{2} + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем ${(- y - 1)}^{2}$ в виде $(- y - 1) (- y - 1)$ .

$(- y - 1) (- y - 1) + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.2

Развернем $(- y - 1) (- y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 \cdot (- 1 y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.3.1.4

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.3.1.5

Умножим $- y \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.3.1.5.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.3.1.6

Умножим $- 1 (- y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.3.1.6.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.3.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{2} + y + y + 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

$y^{2} + y + y + 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.3.2

Добавим $y$ и $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y - 1) = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 2 y - 3 (- y) - 3 \cdot - 1 = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.5

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 2 y + 3 y - 3 \cdot - 1 = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.1.6

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 2 y + 3 y + 3 = - 1$

$x = - y - 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 2 y + 3 y + 3 = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Добавим $y^{2}$ и $y^{2}$ .

$2 y^{2} + 2 y + 1 + 2 y + 3 y + 3 = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.2.2

Добавим $2 y$ и $2 y$ .

$2 y^{2} + 4 y + 1 + 3 y + 3 = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.2.3

Добавим $4 y$ и $3 y$ .

$2 y^{2} + 7 y + 1 + 3 = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 2.2.1.2.4

Добавим $1$ и $3$ .

$2 y^{2} + 7 y + 4 = - 1$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 7 y + 4 = - 1$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 7 y + 4 = - 1$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 7 y + 4 = - 1$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 7 y + 4 = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $2 y^{2} + 7 y + 4 = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 y^{2} + 7 y + 4 + 1 = 0$

$x = - y - 1$

Этап 3.2

Добавим $4$ и $1$ .

$2 y^{2} + 7 y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 y$ .

$2 y^{2} + 7 (y) + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Этап 3.3.1.2

Запишем $7$ как $2$ плюс $5$

$2 y^{2} + (2 + 5) y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} + 2 y + 5 y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 2 y + 5 y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 y^{2} + 2 y) + 5 y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 y (y + 1) + 5 (y + 1) = 0$

$x = - y - 1$

$2 y (y + 1) + 5 (y + 1) = 0$

$x = - y - 1$

Этап 3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $y + 1$ .

$(y + 1) (2 y + 5) = 0$

$x = - y - 1$

$(y + 1) (2 y + 5) = 0$

$x = - y - 1$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y + 1 = 0$

$2 y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Этап 3.5

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

$x = - y - 1$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

$x = - y - 1$

$y = - 1$

$x = - y - 1$

Этап 3.6

Приравняем $2 y + 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $2 y + 5$ к $0$ .

$2 y + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Этап 3.6.2

Решим $2 y + 5 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 y = - 5$

$x = - y - 1$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $2 y = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 y = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

$x = - y - 1$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

$x = - y - 1$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = - y - 1$

Этап 3.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y + 1) (2 y + 5) = 0$ верно.

$y = - 1, - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - 1, - \frac{5}{2}$

$x = - y - 1$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - y - 1$ на $- 1$ .

$x = - (- 1) - 1$

$y = - 1$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $- (- 1) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 - 1$

$y = - 1$

Этап 4.2.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$x = 0$

$y = - 1$

$x = 0$

$y = - 1$

$x = 0$

$y = - 1$

$x = 0$

$y = - 1$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $- \frac{5}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - y - 1$ на $- \frac{5}{2}$ .

$x = - (- \frac{5}{2}) - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $- (- \frac{5}{2}) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- (- \frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{5}{2}) - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2} - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{2} - 1$

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{5 - 1 \cdot 2}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = \frac{5 - 2}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.1.5.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, - 1)$

$(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(0, - 1), (\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Форма уравнения:

$x = 0, y = - 1$

$x = \frac{3}{2}, y = - \frac{5}{2}$

Этап 8