Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} = 25$ , $x + y = 8$

Этап 1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x = 8 - y$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $8 - y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} = 25$ на $8 - y$ .

${(8 - y)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(8 - y)}^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем ${(8 - y)}^{2}$ в виде $(8 - y) (8 - y)$ .

$(8 - y) (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2.1.1.2

Развернем $(8 - y) (8 - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (8 - y) - y (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.1

Умножим $8$ на $8$ .

$64 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$64 - 8 y - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

$64 - 8 y - 8 y - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.5.1

Перенесем $y$ .

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$64 - 8 y - 8 y + 1 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$64 - 8 y - 8 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 8 y - 8 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2.1.1.3.2

Вычтем $8 y$ из $- 8 y$ .

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 2.2.1.2

Добавим $y^{2}$ и $y^{2}$ .

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$64 - 16 y + 2 y^{2} - 25 = 0$

$x = 8 - y$

Этап 3.1.2

Вычтем $25$ из $64$ .

$- 16 y + 2 y^{2} + 39 = 0$

$x = 8 - y$

$- 16 y + 2 y^{2} + 39 = 0$

$x = 8 - y$

Этап 3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 8 - y$

Этап 3.3

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 16$ и $c = 39$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 39)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $39$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.4.1.3

Вычтем $312$ из $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.4.1.4

Перепишем $- 56$ в виде $- 1 (56)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (56)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.4.1.7

Перепишем $56$ в виде $2^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $56$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

Этап 3.4.3

Упростим $\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ .

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $39$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5.1.3

Вычтем $312$ из $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5.1.4

Перепишем $- 56$ в виде $- 1 (56)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (56)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5.1.7

Перепишем $56$ в виде $2^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $56$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ .

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 8$ на $39$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6.1.3

Вычтем $312$ из $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $- 56$ в виде $- 1 (56)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (56)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6.1.7

Перепишем $56$ в виде $2^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $56$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ .

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}, \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}, \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $\frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 8 - y$ на $\frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$ .

$x = 8 - (\frac{8 + i \sqrt{14}}{2})$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $8 - (\frac{8 + i \sqrt{14}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

Этап 4.2.1.2

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

Этап 4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $\frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 8 - y$ на $\frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$ .

$x = 8 - (\frac{8 - i \sqrt{14}}{2})$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $8 - (\frac{8 - i \sqrt{14}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Этап 5.2.1.2

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Этап 5.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Этап 6

Перечислим все решения.

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}, y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}, y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Этап 7