Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2

Найдем $f (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем $f (- x)$ , подставив $- x$ для всех вхождений $x$ в $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{- x}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

Этап 2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- x) = - \frac{x}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f (- x) = - \frac{x}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

Этап 2.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x}{- (x - 1) (- x - 1)}$

Этап 2.6

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

Этап 2.8

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

Этап 2.10.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- x) = - \frac{x}{1 (x - 1) (x + 1)}$

Этап 2.10.3

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f (- x) = - \frac{x}{(x - 1) (x + 1)}$

Этап 3

Функция является четной, если $f (- x) = f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Проверим, верно ли $f (- x) = f (x)$ .

Этап 3.2

Так как $- \frac{x}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ , эта функция не является четной.

Функция является четной

Этап 4

Функция является нечетной, если $f (- x) = - f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 4.2

Так как $- \frac{x}{(x - 1) (x + 1)} = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ , эта функция является нечетной.

Функция является нечетной.

Этап 5