Основы мат. анализа Примеры

$\sin (2 θ) = \cos (2 θ)$

Этап 1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (2 θ)$ .

$\frac{\sin (2 θ)}{\cos (2 θ)} = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

Этап 2

Переведем $\frac{\sin (2 θ)}{\cos (2 θ)}$ в $\tan (2 θ)$ .

$\tan (2 θ) = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $\cos (2 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\tan (2 θ) = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

Этап 3.2

Перепишем это выражение.

$\tan (2 θ) = 1$

Этап 4

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$2 θ = \arctan (1)$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$2 θ = \frac{π}{4}$

Этап 6

Разделим каждый член $2 θ = \frac{π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 6.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$θ = \frac{π}{8}$

Этап 7

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 θ = π + \frac{π}{4}$

Этап 8

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 8.1.2

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 8.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 8.1.4

Добавим $π \cdot 4$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

$2 θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 8.1.4.2

Добавим $4 \cdot π$ и $π$ .

$2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$

Этап 8.2

Разделим каждый член $2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Этап 8.2.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

Этап 9

Найдем период $\tan (2 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 10

Период функции $\tan (2 θ)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим ответы.

$θ = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$