Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - x + 1$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $2 x^{2} - x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = - 1$

$c = 1$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$d = \frac{- 1}{4}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{4}$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 1 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 1 - \frac{1}{8}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$e = \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

Этап 1.1.1.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{8 - 1}{8}$

Этап 1.1.1.4.2.4

Вычтем $1$ из $8$ .

$e = \frac{7}{8}$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{7}{8}$ .

$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{7}{8}$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{7}{8}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 2$

$h = \frac{1}{4}$

$k = \frac{7}{8}$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 1.5.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{8}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{1}{4}, 1)$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{1}{4}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{3}{4}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$

Фокус: $(\frac{1}{4}, 1)$

Ось симметрии: $x = \frac{1}{4}$

Директриса: $y = \frac{3}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$

Фокус: $(\frac{1}{4}, 1)$

Ось симметрии: $x = \frac{1}{4}$

Директриса: $y = \frac{3}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - (- 1) + 1$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 1) = 2 - (- 1) + 1$

Этап 2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + 1 + 1$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- 1) = 3 + 1$

Этап 2.2.2.2

Добавим $3$ и $1$ .

$f (- 1) = 4$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} - (- 2) + 1$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 4 - (- 2) + 1$

Этап 2.5.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- 2) = 8 - (- 2) + 1$

Этап 2.5.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 8 + 2 + 1$

Этап 2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $8$ и $2$ .

$f (- 2) = 10 + 1$

Этап 2.5.2.2

Добавим $10$ и $1$ .

$f (- 2) = 11$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $11$ .

$11$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $11$ .

$y = 11$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 2 \cdot 1 - (1) + 1$

Этап 2.8.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = 2 - (1) + 1$

Этап 2.8.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = 2 - 1 + 1$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (1) = 1 + 1$

Этап 2.8.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = 2$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 1$ равно $2$ .

$y = 2$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - (2) + 1$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - (2) + 1$

Этап 2.11.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (2) = 2^{1 + 2} - (2) + 1$

Этап 2.11.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (2) = 2^{3} - (2) + 1$

Этап 2.11.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = 8 - (2) + 1$

Этап 2.11.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (2) = 8 - 2 + 1$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем $2$ из $8$ .

$f (2) = 6 + 1$

Этап 2.11.2.2

Добавим $6$ и $1$ .

$f (2) = 7$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $7$ .

$7$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 2$ равно $7$ .

$y = 7$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 4 \\ \frac{1}{4} & \frac{7}{8} \\ 1 & 2 \\ 2 & 7 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$

Фокус: $(\frac{1}{4}, 1)$

Ось симметрии: $x = \frac{1}{4}$

Директриса: $y = \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 4 \\ \frac{1}{4} & \frac{7}{8} \\ 1 & 2 \\ 2 & 7 \end{array}$

Этап 4