Основы мат. анализа Примеры

${(x - 3 y)}^{7}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{7} \frac{7!}{(7 - k)! k!} \cdot {(x)}^{7 - k} \cdot {(- 3 y)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{7!}{(7 - 0)! 0!} {(x)}^{7 - 0} \cdot {(- 3 y)}^{0} + \frac{7!}{(7 - 1)! 1!} {(x)}^{7 - 1} \cdot {(- 3 y)}^{1} + \dots + \frac{7!}{(7 - 7)! 7!} {(x)}^{7 - 7} \cdot {(- 3 y)}^{7}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(x)}^{7} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 7 \cdot {(x)}^{6} \cdot {(- 3 y)}^{1} + \dots + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{7}$

Этап 4

Упростим итоговый многочлен.

$x^{7} - 21 x^{6} y + 189 x^{5} y^{2} - 945 x^{4} y^{3} + 2835 x^{3} y^{4} - 5103 x^{2} y^{5} + 5103 x y^{6} - 2187 y^{7}$