Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - x^{2} (x + 4) (x^{2} - 1)$

Этап 1

Определим степень функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим и упорядочим многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- x^{2} x - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Этап 1.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перенесем $x$ .

$(- (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Этап 1.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(- (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Этап 1.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(- x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Этап 1.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(- x^{3} - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Этап 1.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$(- x^{3} - 4 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Этап 1.1.4

Развернем $(- x^{3} - 4 x^{2}) (x^{2} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} (x^{2} - 1) - 4 x^{2} (x^{2} - 1)$

Этап 1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} x^{2} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} (x^{2} - 1)$

Этап 1.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} x^{2} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- (x^{2} x^{3}) - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 1.1.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2 + 3} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 1.1.5.1.3

Добавим $2$ и $3$ .

$- x^{5} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 1.1.5.2

Умножим $- x^{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- x^{5} + 1 x^{3} - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 1.1.5.2.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 1.1.5.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 1.1.5.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 1.1.5.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 1.1.5.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{4} + 4 x^{2}$

Этап 1.2

Наибольший показатель степени называется степенью многочлена.

$5$

Этап 2

Поскольку степень нечетная, края функции будут указывать противоположные направления.

Нечетные

Этап 3

Определим старший коэффициент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим многочлен и упорядочим его слева направо, начиная с члена с наивысшей степенью.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- x^{2} x - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Этап 3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$(- (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Этап 3.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(- (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Этап 3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(- x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Этап 3.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(- x^{3} - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Этап 3.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$(- x^{3} - 4 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Этап 3.1.4

Развернем $(- x^{3} - 4 x^{2}) (x^{2} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} (x^{2} - 1) - 4 x^{2} (x^{2} - 1)$

Этап 3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} x^{2} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} (x^{2} - 1)$

Этап 3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} x^{2} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- (x^{2} x^{3}) - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.1.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2 + 3} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.1.5.1.1.3

Добавим $2$ и $3$ .

$- x^{5} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.1.5.1.2

Умножим $- x^{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- x^{5} + 1 x^{3} - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.1.5.1.2.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.1.5.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.1.5.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.1.5.1.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Этап 3.1.5.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{4} + 4 x^{2}$

Этап 3.1.5.2

Перенесем $x^{3}$ .

$- x^{5} - 4 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2}$

Этап 3.2

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$- x^{5}$

Этап 3.3

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

$- 1$

Этап 4

Поскольку старший коэффициент отрицателен, график снижается вправо.

Отрицательные

Этап 5

Используем степень и знак старшего коэффициента для определения поведения функции.

1. Четный и положительный: поднимается влево и поднимается вправо.

2. Четный и отрицательный: опускается влево и опускается вправо.

3. Нечетный и положительный: опускается влево и поднимается вправо.

4. Нечетный и отрицательный: поднимается влево и опускается вправо

Этап 6

Определим поведение.

Возрастает влево и убывает вправо

Этап 7