Основы мат. анализа Примеры

$- 4 - 3 i$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = - 4$ и $b = - 3$ .

$| z | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + {(- 4)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 16}$

Этап 4.3

Добавим $9$ и $16$ .

$| z | = \sqrt{25}$

Этап 4.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

Этап 4.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 5$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 3}{- 4})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 3}{- 4}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно $3.78509376$ .

$θ = 3.78509376$

Этап 7

Подставим значения $θ = 3.78509376$ и $| z | = 5$ .

$5 (\cos (3.78509376) + i \sin (3.78509376))$