Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x}{x - 5}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x}{x - 5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y}{y - 5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y - 5$ .

$(y - 5) (x) = (\frac{y}{y - 5}) (y - 5)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 5 x = (\frac{y}{y - 5}) (y - 5)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - 5 x = \frac{y}{y - 5} (y - 5)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - 5 x = y$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y x - 5 x - y = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $5 x$ к обеим частям уравнения.

$y x - y = 5 x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - y = 5 x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 5 x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 5 x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (x - 1) = 5 x$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (x - 1) = 5 x$ на $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{5 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{5 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5 x}{x - 1}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$ обратной к $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x}{x - 5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{x}{x - 5})}{(\frac{x}{x - 5}) - 1}$

Этап 5.2.3

Объединим $5$ и $\frac{x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} - 1}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} - 1 \cdot \frac{x - 5}{x - 5}}$

Этап 5.2.4.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} + \frac{- (x - 5)}{x - 5}}$

Этап 5.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - (x - 5)}{x - 5}}$

Этап 5.2.4.4

Перепишем $\frac{x - (x - 5)}{x - 5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - x + 5}{x - 5}}$

Этап 5.2.4.4.2

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - x + 5}{x - 5}}$

Этап 5.2.4.4.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{0 + 5}{x - 5}}$

Этап 5.2.4.4.4

Добавим $0$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{5}{x - 5}}$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 (x)}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

Этап 5.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

Этап 5.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Этап 5.2.7.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{5 x}{x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{\frac{5 x}{x - 1}}{(\frac{5 x}{x - 1}) - 5}$

Этап 5.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} - 5}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} - 5 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.2

Объединим $- 5$ и $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} + \frac{- 5 (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x - 5 (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.4

Перепишем $\frac{5 x - 5 (x - 1)}{x - 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x - 5 (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x) - 5 (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.4.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 (x - 1)$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 1))}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.4.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (x) + 5 (- (x - 1))$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - (x - 1))}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.4.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (0 + 1)}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.4.5

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 \cdot 1}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.5

Умножим $5$ на $1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5}{x - 1}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot (1 (\frac{x - 1}{5}))$

Этап 5.3.6

Умножим $\frac{x - 1}{5}$ на $1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 (x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

Этап 5.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

Этап 5.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Этап 5.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$