Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(x - 6)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

Этап 1

Упростим и упорядочим многочлен в порядке убывания, чтобы использовать правило Декарта.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x - 6)}^{2}$ в виде $(x - 6) (x - 6)$ .

$(x - 6) (x - 6) {(x + 2)}^{2}$

Этап 1.2

Развернем $(x - 6) (x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x (x - 6) - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$(x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Этап 1.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Этап 1.4

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) ((x + 2) (x + 2))$

Этап 1.5

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Этап 1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Этап 1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Этап 1.6.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$

Этап 1.7

Развернем $(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.4

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x^{1}) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{2 + 1} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x \cdot x - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.7.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 (x \cdot x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.8

Умножим $- 12$ на $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.9

Умножим $4$ на $- 12$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.10

Умножим $4$ на $36$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 36 \cdot 4$

Этап 1.8.1.11

Умножим $36$ на $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Этап 1.8.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Вычтем $12 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Этап 1.8.2.2

Вычтем $48 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 44 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Этап 1.8.2.3

Добавим $- 44 x^{2}$ и $36 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x + 144 x + 144$

Этап 1.8.2.4

Добавим $- 48 x$ и $144 x$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Этап 2

Чтобы найти возможное количество положительных корней, обратим внимание на знаки коэффициентов и подсчитаем, сколько раз коэффициенты меняют знак.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Этап 3

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $2$ , максимальное число положительных корней равно $2$ (правило знаков Декарта). Другие возможные количества отрицательных корней находятся путем вычитания пар корней (например, $(2 - 2)$ ).

Положительные корни: $2$ или $0$

Этап 4

Чтобы найти возможное количество отрицательных корней, заменим $x$ на $- x$ и снова сравним знаки.

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Этап 5.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- x) = 1 x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Этап 5.3

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Этап 5.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 (- x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Этап 5.6

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Этап 5.7

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Этап 5.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 (1 x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Этап 5.9

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 (- x) + 144$

Этап 5.10

Умножим $- 1$ на $96$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 96 x + 144$

Этап 6

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $2$ , максимальное число отрицательных корней равно $2$ (правило знаков Декарта). Другие возможные количества отрицательных корней находятся путем вычитания пар корней (например, $2 - 2$ ).

Отрицательные корни: $2$ или $0$

Этап 7

Возможное количество положительных корней равно $2$ или $0$ , а возможное количество отрицательных корней ― $2$ или $0$ .

Положительные корни: $2$ или $0$

Отрицательные корни: $2$ или $0$