Основы мат. анализа Примеры

$y = x \sqrt{4 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x \sqrt{4 - x^{2}}$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x \sqrt{4 - x^{2}} = 0$ .

$x \sqrt{4 - x^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(x \sqrt{4 - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x^{2}}$ в виде ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим ${(x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Применим правило умножения к $x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} {(4 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.3

Упростим.

$x^{2} (4 - x^{2}) = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.4

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \cdot 4 + x^{2} (- x^{2}) = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.4.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.4.2.1

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$4 \cdot x^{2} + x^{2} (- x^{2}) = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.4.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \cdot x^{2} - x^{2} x^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$4 x^{2} - (x^{2} x^{2}) = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{2} - x^{2 + 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$4 x^{2} - x^{4} = 0^{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x^{2} - x^{4} = 0$

Этап 1.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{2} - x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$x^{2} \cdot 4 - x^{4} = 0$

Этап 1.2.4.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{4}$ .

$x^{2} \cdot 4 + x^{2} (- x^{2}) = 0$

Этап 1.2.4.1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot 4 + x^{2} (- x^{2})$ .

$x^{2} (4 - x^{2}) = 0$

Этап 1.2.4.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} (2^{2} - x^{2}) = 0$

Этап 1.2.4.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$x^{2} ((2 + x) (2 - x)) = 0$

Этап 1.2.4.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (2 + x) (2 - x) = 0$

Этап 1.2.4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 1.2.4.3

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 1.2.4.3.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.2.4.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.2.4.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.2.4.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4.4

Приравняем $2 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Приравняем $2 + x$ к $0$ .

$2 + x = 0$

Этап 1.2.4.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.4.5

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 1.2.4.5.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 1.2.4.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.4.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 1.2.4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (2 + x) (2 - x) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (- 2, 0), (2, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = (0) \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0 \sqrt{4 - 0^{2}}$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (0) \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Упростим $(0) \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 \sqrt{4 - 0}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0 \sqrt{4 + 0}$

Этап 2.2.3.3

Добавим $4$ и $0$ .

$y = 0 \sqrt{4}$

Этап 2.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = 0 \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 0 \cdot 2$

Этап 2.2.3.6

Умножим $0$ на $2$ .

$y = 0$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (- 2, 0), (2, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 4