Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2}{1 + i} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{2}{1 + 1 i}$ на комплексно сопряженное $1 + 1 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{2}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{2 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2 i}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Развернем $(1 + 1 i) (1 - i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 - 2 i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i i} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.9

Добавим $- 1 i$ и $1 i$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 + 0 - i^{2}} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.10

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - i^{2}} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - - 1} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 + 1} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{2} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $2 - 2 i$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2 i}{2} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 i$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{2} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{2 (1 - i)}{2} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1 - i)}{2 (1)} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 1} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - i}{1} - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.3.4.4

Разделим $1 - i$ на $1$ .

$1 - i - \frac{3}{1 - i}$

Этап 1.4

Умножим числитель и знаменатель $\frac{3}{1 - i}$ на комплексно сопряженное $1 - i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$1 - i - (\frac{3}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i})$

Этап 1.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим.

$1 - i - \frac{3 (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - i - \frac{3 \cdot 1 + 3 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 1.5.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 1.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Развернем $(1 - i) (1 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Этап 1.5.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Этап 1.5.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Этап 1.5.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Этап 1.5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - i i}$

Этап 1.5.3.2.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Этап 1.5.3.2.4

Возведем $i$ в степень $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Этап 1.5.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Этап 1.5.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Этап 1.5.3.2.7

Вычтем $i$ из $1 i$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Этап 1.5.3.2.8

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 - i^{2}}$

Этап 1.5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 - - 1}$

Этап 1.5.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1}$

Этап 1.5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{2}$

Этап 1.6

Разобьем дробь $\frac{3 + 3 i}{2}$ на две дроби.

$1 - i - (\frac{3}{2} + \frac{3 i}{2})$

Этап 1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - i - \frac{3}{2} - \frac{3 i}{2}$

Этап 2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2}{2} - \frac{3}{2} - i - \frac{3 i}{2}$

Этап 3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 3}{2} - i - \frac{3 i}{2}$

Этап 4

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{- 1}{2} - i - \frac{3 i}{2}$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} - i - \frac{3 i}{2}$

Этап 6

Чтобы записать $- i$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - i \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 i}{2}$

Этап 7

Объединим $- i$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{- i \cdot 2}{2} - \frac{3 i}{2}$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 5 i}{2}$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} - \frac{5 i}{2}$