Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4}$ не определено.

$x = - 2, x = 2$

Этап 2

Поскольку $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ слева, а $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ справа, то $x = - 2$ — вертикальная асимптота.

$x = - 2$

Этап 3

Поскольку $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $2$ слева, а $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $2$ справа, то $x = 2$ — вертикальная асимптота.

$x = 2$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 2, 2$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n = m$ , горизонтальной асимптотой является прямая $y = \frac{a}{b}$ , где $a = 2$ и $b = 1$ .

$y = 2$

Этап 8

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 2, 2$

Горизонтальные асимптоты: $y = 2$

Нет наклонных асимптот

Этап 10