Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x - 8) - \ln (x + 7) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (\frac{x - 10}{x + 8})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{x - 8}{x + 7} = \frac{x - 10}{x + 8}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$(x - 8) (x + 8) = (x + 7) (x - 10)$

Этап 4.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $(x - 8) (x + 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (x - 8) (x + 8) = (x + 7) (x - 10)$

Этап 4.2.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(x - 8) (x + 8) = (x + 7) (x - 10)$

Этап 4.2.1.3

Развернем $(x - 8) (x + 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 8) - 8 (x + 8) = (x + 7) (x - 10)$

Этап 4.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 8 - 8 (x + 8) = (x + 7) (x - 10)$

Этап 4.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 8 - 8 x - 8 \cdot 8 = (x + 7) (x - 10)$

Этап 4.2.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 8 - 8 x - 8 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 8$ и $- 8 x$ .

$x \cdot x + 8 x - 8 x - 8 \cdot 8 = (x + 7) (x - 10)$

Этап 4.2.1.4.1.2

Вычтем $8 x$ из $8 x$ .

$x \cdot x + 0 - 8 \cdot 8 = (x + 7) (x - 10)$

Этап 4.2.1.4.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$x \cdot x - 8 \cdot 8 = (x + 7) (x - 10)$

Этап 4.2.1.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 8 \cdot 8 = (x + 7) (x - 10)$

Этап 4.2.1.4.2.2

Умножим $- 8$ на $8$ .

$x^{2} - 64 = (x + 7) (x - 10)$

Этап 4.2.2

Упростим $(x + 7) (x - 10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Развернем $(x + 7) (x - 10)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 64 = x (x - 10) + 7 (x - 10)$

Этап 4.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 64 = x \cdot x + x \cdot - 10 + 7 (x - 10)$

Этап 4.2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 64 = x \cdot x + x \cdot - 10 + 7 x + 7 \cdot - 10$

Этап 4.2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + x \cdot - 10 + 7 x + 7 \cdot - 10$

Этап 4.2.2.2.1.2

Перенесем $- 10$ влево от $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} - 10 \cdot x + 7 x + 7 \cdot - 10$

Этап 4.2.2.2.1.3

Умножим $7$ на $- 10$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} - 10 x + 7 x - 70$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 10 x$ и $7 x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} - 3 x - 70$

Этап 4.2.3

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 3 x - 70 = x^{2} - 64$

Этап 4.2.4

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x - 70 - x^{2} = - 64$

Этап 4.2.4.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 3 x - 70 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 3 x - 70 + 0 = - 64$

Этап 4.2.4.2.2

Добавим $- 3 x - 70$ и $0$ .

$- 3 x - 70 = - 64$

Этап 4.2.5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Добавим $70$ к обеим частям уравнения.

$- 3 x = - 64 + 70$

Этап 4.2.5.2

Добавим $- 64$ и $70$ .

$- 3 x = 6$

Этап 4.2.6

Разделим каждый член $- 3 x = 6$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Разделим каждый член $- 3 x = 6$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Этап 4.2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Этап 4.2.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{6}{- 3}$

Этап 4.2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.1

Разделим $6$ на $- 3$ .

$x = - 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (x - 8) - \ln (x + 7) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$ истинным.

$Нет решения$