Основы мат. анализа Примеры

$\log (x + 4) - \log (x) = \log (x + 2)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x + 4}{x}) = \log (x + 2)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{x + 4}{x} = x + 2$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{x + 4}{x} = x + 2$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{x + 4}{x} = x + 2$ на $x$ .

$\frac{x + 4}{x} x = x \cdot x + 2 x$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 4}{x} x = x \cdot x + 2 x$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x + 4 = x \cdot x + 2 x$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 4 = x^{2} + 2 x$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 2 x = x + 4$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x - x = 4$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$x^{2} + x = 4$

Этап 3.3.3

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 4 = 0$

Этап 3.3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6.1.3

Добавим $1$ и $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Этап 3.3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (x + 4) - \log (x) = \log (x + 2)$ истинным.

$x = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 1.56155281 \dots$