Основы мат. анализа Примеры

$\frac{b}{b + 1} - \frac{b + 1}{b - 4} = \frac{5}{b^{2} - 3 b - 4}$

Этап 1

Разложим $b^{2} - 3 b - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{b}{b + 1} - \frac{b + 1}{b - 4} = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$b + 1, b - 4, (b - 4) (b + 1)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $b + 1$ является само значение $b + 1$ .

$(b + 1) = b + 1$

$(b + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $b - 4$ является само значение $b - 4$ .

$(b - 4) = b - 4$

$(b - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $b + 1$ является само значение $b + 1$ .

$(b + 1) = b + 1$

$(b + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $b + 1, b - 4, b - 4, b + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(b + 1) (b - 4)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{b}{b + 1} - \frac{b + 1}{b - 4} = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)}$ умножим на $(b + 1) (b - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{b}{b + 1} - \frac{b + 1}{b - 4} = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)}$ на $(b + 1) (b - 4)$ .

$\frac{b}{b + 1} ((b + 1) (b - 4)) - \frac{b + 1}{b - 4} ((b + 1) (b - 4)) = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $b + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{b}{b + 1} ((b + 1) (b - 4)) - \frac{b + 1}{b - 4} ((b + 1) (b - 4)) = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$b (b - 4) - \frac{b + 1}{b - 4} ((b + 1) (b - 4)) = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$b \cdot b + b \cdot - 4 - \frac{b + 1}{b - 4} ((b + 1) (b - 4)) = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $b$ на $b$ .

$b^{2} + b \cdot - 4 - \frac{b + 1}{b - 4} ((b + 1) (b - 4)) = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $- 4$ влево от $b$ .

$b^{2} - 4 \cdot b - \frac{b + 1}{b - 4} ((b + 1) (b - 4)) = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $b - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{b + 1}{b - 4}$ в числитель.

$b^{2} - 4 b + \frac{- (b + 1)}{b - 4} ((b + 1) (b - 4)) = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.2.1.5.2

Вынесем множитель $b - 4$ из $(b + 1) (b - 4)$ .

$b^{2} - 4 b + \frac{- (b + 1)}{b - 4} ((b - 4) (b + 1)) = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$b^{2} - 4 b + \frac{- (b + 1)}{b - 4} ((b - 4) (b + 1)) = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$b^{2} - 4 b - (b + 1) (b + 1) = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.2.1.6

Возведем $b + 1$ в степень $1$ .

$b^{2} - 4 b - ({(b + 1)}^{1} (b + 1)) = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.2.1.7

Возведем $b + 1$ в степень $1$ .

$b^{2} - 4 b - ({(b + 1)}^{1} {(b + 1)}^{1}) = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.2.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$b^{2} - 4 b - {(b + 1)}^{1 + 1} = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.2.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$b^{2} - 4 b - {(b + 1)}^{2} = \frac{5}{(b - 4) (b + 1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(b + 1) (b - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(b + 1) (b - 4)$ из $(b - 4) (b + 1)$ .

$b^{2} - 4 b - {(b + 1)}^{2} = \frac{5}{(b + 1) (b - 4) (1)} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$b^{2} - 4 b - {(b + 1)}^{2} = \frac{5}{(b + 1) (b - 4) \cdot 1} ((b + 1) (b - 4))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$b^{2} - 4 b - {(b + 1)}^{2} = 5$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$b^{2} - 4 b - {(b + 1)}^{2} - 5 = 0$

Этап 4.2

Упростим $b^{2} - 4 b - {(b + 1)}^{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем ${(b + 1)}^{2}$ в виде $(b + 1) (b + 1)$ .

$b^{2} - 4 b - ((b + 1) (b + 1)) - 5 = 0$

Этап 4.2.1.2

Развернем $(b + 1) (b + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$b^{2} - 4 b - (b (b + 1) + 1 (b + 1)) - 5 = 0$

Этап 4.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$b^{2} - 4 b - (b \cdot b + b \cdot 1 + 1 (b + 1)) - 5 = 0$

Этап 4.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$b^{2} - 4 b - (b \cdot b + b \cdot 1 + 1 b + 1 \cdot 1) - 5 = 0$

Этап 4.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1.1

Умножим $b$ на $b$ .

$b^{2} - 4 b - (b^{2} + b \cdot 1 + 1 b + 1 \cdot 1) - 5 = 0$

Этап 4.2.1.3.1.2

Умножим $b$ на $1$ .

$b^{2} - 4 b - (b^{2} + b + 1 b + 1 \cdot 1) - 5 = 0$

Этап 4.2.1.3.1.3

Умножим $b$ на $1$ .

$b^{2} - 4 b - (b^{2} + b + b + 1 \cdot 1) - 5 = 0$

Этап 4.2.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$b^{2} - 4 b - (b^{2} + b + b + 1) - 5 = 0$

Этап 4.2.1.3.2

Добавим $b$ и $b$ .

$b^{2} - 4 b - (b^{2} + 2 b + 1) - 5 = 0$

Этап 4.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$b^{2} - 4 b - b^{2} - (2 b) - 1 \cdot 1 - 5 = 0$

Этап 4.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b - 1 \cdot 1 - 5 = 0$

Этап 4.2.1.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b - 1 - 5 = 0$

Этап 4.2.2

Объединим противоположные члены в $b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b - 1 - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $b^{2}$ из $b^{2}$ .

$- 4 b + 0 - 2 b - 1 - 5 = 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 4 b$ и $0$ .

$- 4 b - 2 b - 1 - 5 = 0$

Этап 4.2.3

Вычтем $2 b$ из $- 4 b$ .

$- 6 b - 1 - 5 = 0$

Этап 4.2.4

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$- 6 b - 6 = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 b - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 b$ .

$- 6 b - 6 = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6$ .

$- 6 b - 6 \cdot 1 = 0$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 (b) - 6 (1)$ .

$- 6 (b + 1) = 0$

Этап 4.4

Разделим каждый член $- 6 (b + 1) = 0$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разделим каждый член $- 6 (b + 1) = 0$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 (b + 1)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 (b + 1)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Этап 4.4.2.1.2

Разделим $b + 1$ на $1$ .

$b + 1 = \frac{0}{- 6}$

Этап 4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Разделим $0$ на $- 6$ .

$b + 1 = 0$

Этап 4.5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$b = - 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{b}{b + 1} - \frac{b + 1}{b - 4} = \frac{5}{b^{2} - 3 b - 4}$ истинным.

$Нет решения$