Основы мат. анализа Примеры

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Этап 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arctan (1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{π}{4}$

Этап 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} - \frac{π}{3}$

Этап 3.2

Чтобы записать $\frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 3.3

Чтобы записать $- \frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Этап 3.4.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{12}$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 4}{12}$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π \cdot 4}{12}$

Этап 3.6.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π - 4 π}{12}$

Этап 3.6.3

Вычтем $4 π$ из $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- π}{12}$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{12}$

Этап 4

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{12})$

Этап 5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{12})$

Этап 5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (- \frac{π}{12})$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $2 (- \frac{π}{12})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{12}$ в числитель.

$x = 2 \frac{- π}{12}$

Этап 5.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$x = 2 \frac{- π}{2 (6)}$

Этап 5.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 6}$

Этап 5.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- π}{6}$

Этап 5.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 6

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π + \frac{π}{4}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 7.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 7.1.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{4}$

Этап 7.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{3}$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $\frac{5 π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.2.3

Чтобы записать $- \frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.2.4.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{12}$

Этап 7.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3 - π \cdot 4}{12}$

Этап 7.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - π \cdot 4}{12}$

Этап 7.2.6.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - 4 π}{12}$

Этап 7.2.6.3

Вычтем $4 π$ из $15 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{11 π}{12}$

Этап 7.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{11 π}{12}$

Этап 7.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{11 π}{12}$

Этап 7.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{11 π}{12}$

Этап 7.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$x = 2 \frac{11 π}{2 (6)}$

Этап 7.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{11 π}{2 \cdot 6}$

Этап 7.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 8

Найдем период $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 8.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 2$

Этап 8.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π$

Этап 9

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 9.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 9.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 9.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 10

Период функции $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим ответы.

$x = \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$