Основы мат. анализа Примеры

$x^{\frac{4}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 6 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{\frac{4}{3}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 6 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{2}{3}}$ для всех.

$u^{2} - 5 u + 6 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} - 5 u + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 3 = 0$

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{\frac{2}{3}} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{\frac{2}{3}} - 3$ к $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 3 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{\frac{2}{3}} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{2}{3}} = 3$

Этап 3.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.2

Упростим.

$x = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3^{\frac{3}{2}}, - 3^{\frac{3}{2}}$

Этап 4

Приравняем $x^{\frac{2}{3}} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{\frac{2}{3}} - 2$ к $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{2}{3}} = 2$

Этап 4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.2

Упростим.

$x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{\frac{2}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$ верно.

$x = 3^{\frac{3}{2}}, - 3^{\frac{3}{2}}, 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 3^{\frac{3}{2}}, - 3^{\frac{3}{2}}, 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Десятичная форма:

$x = 5.19615242 \dots, - 5.19615242 \dots, 2.82842712 \dots, - 2.82842712 \dots$