Основы мат. анализа Примеры

$x - 11 \sqrt{x} + 30 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $- 11 \sqrt{x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 11 \sqrt{x} + 30 = - x$

Этап 1.2

Вычтем $30$ из обеих частей уравнения.

$- 11 \sqrt{x} = - x - 30$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 11 \sqrt{x})}^{2} = {(- x - 30)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 11 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 30)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(- 11 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $- 11 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 11)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 30)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 11$ в степень $2$ .

$121 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 30)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$121 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 30)}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$121 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 30)}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$121 x^{1} = {(- x - 30)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

$121 x = {(- x - 30)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(- x - 30)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(- x - 30)}^{2}$ в виде $(- x - 30) (- x - 30)$ .

$121 x = (- x - 30) (- x - 30)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(- x - 30) (- x - 30)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$121 x = - x (- x - 30) - 30 (- x - 30)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$121 x = - x (- x) - x \cdot - 30 - 30 (- x - 30)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$121 x = - x (- x) - x \cdot - 30 - 30 (- x) - 30 \cdot - 30$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$121 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 30 - 30 (- x) - 30 \cdot - 30$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$121 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 30 - 30 (- x) - 30 \cdot - 30$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$121 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 30 - 30 (- x) - 30 \cdot - 30$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$121 x = 1 x^{2} - x \cdot - 30 - 30 (- x) - 30 \cdot - 30$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$121 x = x^{2} - x \cdot - 30 - 30 (- x) - 30 \cdot - 30$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $- 30$ на $- 1$ .

$121 x = x^{2} + 30 x - 30 (- x) - 30 \cdot - 30$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 30$ .

$121 x = x^{2} + 30 x + 30 x - 30 \cdot - 30$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $- 30$ на $- 30$ .

$121 x = x^{2} + 30 x + 30 x + 900$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $30 x$ и $30 x$ .

$121 x = x^{2} + 60 x + 900$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 60 x + 900 = 121 x$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $121 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 60 x + 900 - 121 x = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $121 x$ из $60 x$ .

$x^{2} - 61 x + 900 = 0$

Этап 4.3

Разложим $x^{2} - 61 x + 900$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $900$ , а сумма — $- 61$ .

$- 36, - 25$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 36) (x - 25) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 36 = 0$

$x - 25 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 36$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 36$ к $0$ .

$x - 36 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $36$ к обеим частям уравнения.

$x = 36$

Этап 4.6

Приравняем $x - 25$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 25$ к $0$ .

$x - 25 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$x = 25$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 36) (x - 25) = 0$ верно.

$x = 36, 25$