Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (x - 7) + \log_{5} (x - 4) - \log_{5} (x) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 7) (x - 4)) - \log_{5} (x) = 1$

Этап 1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{(x - 7) (x - 4)}{x}) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log_{5} (\frac{(x - 7) (x - 4)}{x}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{(x - 7) (x - 4)}{x}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$(x - 7) (x - 4) = 5 (x)$

Этап 4

Умножим $5$ на $x$ .

$(x - 7) (x - 4) = 5 x$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$(x - 7) (x - 4) - 5 x = 0$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Развернем $(x - 7) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 4) - 7 (x - 4) - 5 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 7 (x - 4) - 5 x = 0$

Этап 5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Этап 5.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Этап 5.2.2.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$x^{2} - 4 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $- 7$ на $- 4$ .

$x^{2} - 4 x - 7 x + 28 - 5 x = 0$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $7 x$ из $- 4 x$ .

$x^{2} - 11 x + 28 - 5 x = 0$

Этап 5.3

Вычтем $5 x$ из $- 11 x$ .

$x^{2} - 16 x + 28 = 0$

Этап 6

Разложим $x^{2} - 16 x + 28$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $28$ , а сумма — $- 16$ .

$- 14, - 2$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 14) (x - 2) = 0$

Этап 7

Упростим $(x - 14) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Развернем $(x - 14) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 2) - 14 (x - 2) = 0$

Этап 7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 14 (x - 2) = 0$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Этап 7.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Этап 7.2.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 14$ на $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 14 x + 28 = 0$

Этап 7.2.2

Вычтем $14 x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 16 x + 28 = 0$

Этап 8

Разложим $x^{2} - 16 x + 28$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

$- 14, - 2$

Этап 8.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 14) (x - 2) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 14 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 10

Приравняем $x - 14$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x - 14$ к $0$ .

$x - 14 = 0$

Этап 10.2

Добавим $14$ к обеим частям уравнения.

$x = 14$

Этап 11

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 11.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 14) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 14, 2$

Этап 13

Исключим решения, которые не делают $\log_{5} (x - 7) + \log_{5} (x - 4) - \log_{5} (x) = 1$ истинным.

$x = 14$