Основы мат. анализа Примеры

$\cos (\arcsin (\frac{x - h}{r}))$

Этап 1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, \frac{x - h}{r})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{x - h}{r})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, \frac{x - h}{r})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{x - h}{r}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$

Этап 1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{x - h}{r}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x - h}{r}) (1 - \frac{x - h}{r})}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x - h}{r}) (1 - \frac{x - h}{r})}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x - h}{r})}$

Этап 3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x - h}{r})}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - (x - h)}{r}}$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{r - (x - h)}{r}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x - - h}{r}}$

Этап 3.5.2

Умножим $- - h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x + 1 h}{r}}$

Этап 3.5.2.2

Умножим $h$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

Этап 4

Умножим $\frac{r + x - h}{r}$ на $\frac{r - x + h}{r}$ .

$\sqrt{\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r \cdot r}}$

Этап 5

Умножим $r$ на $r$ .

$\sqrt{\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r^{2}}}$

Этап 6

Перепишем $\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{r})}^{2} ((r + x - h) (r - x + h))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(r + x - h) (r - x + h)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2}}}$

Этап 6.2

Вынесем полную степень $r^{2}$ из $r^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2} \cdot 1}}$

Этап 6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}$

Этап 7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{r} \sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{r}$ и $\sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}$ .

$\frac{\sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}}{r}$