Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{x^{2} (x + 1)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.4.2

Разделим $4 x^{2} + 2 x - 1$ на $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.1.2

Разделим $A (x + 1)$ на $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A (x + 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A \cdot 1 + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.3

Умножим $A$ на $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Вынесем множитель $x$ из $B (x^{2} (x + 1))$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.4.2.3

Сократим общий множитель.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.4.2.4

Перепишем это выражение.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.4.2.5

Разделим $B (x (x + 1))$ на $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x (x + 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.6

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.7

Умножим $x$ на $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.9

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.9.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{C (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.5.9.2

Разделим $(C) (x^{2})$ на $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + (C) (x^{2})$

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Этап 1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Этап 1.6.2

Перенесем $A$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} + A$

Этап 1.6.3

Перенесем $B x$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x + A$

Этап 1.6.4

Перенесем $A x$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x + A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = B + C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + B$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 1 = A$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$4 = B + C$

$2 = A + B$

$- 1 = A$

$4 = B + C$

$2 = A + B$

$- 1 = A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $A = - 1$ .

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = A + B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $2 = A + B$ на $- 1$ .

$2 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $2 = - 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + B = 2$ .

$- 1 + B = 2$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$B = 2 + 1$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Этап 3.3.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $4 = B + C$ на $3$ .

$4 = (3) + C$

$B = 3$

$A = - 1$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Избавимся от скобок.

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

Этап 3.5

Решим относительно $C$ в $4 = 3 + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $3 + C = 4$ .

$3 + C = 4$

$B = 3$

$A = - 1$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$C = 4 - 3$

$B = 3$

$A = - 1$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

Этап 3.6

Решим систему уравнений.

$C = 1 B = 3 A = - 1$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$C = 1, B = 3, A = - 1$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x} + \frac{1}{x + 1}$