Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{x^{2} - 2 x - 8}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} - 2 x - 8}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 2 x - 8 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Этап 2.2

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 4, - 2$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 4$

$x > 4$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{2} - 2 \cdot - 4 - 8 \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $16$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 8 \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $- 8$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{2} - 2 \cdot 6 - 8 \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $16$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 2$ или $x \geq 4$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2] \cup [4, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 2, x \geq 4}$

Этап 4