Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 2

Умножим $\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$ на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 3

Объединим.

$\frac{\tan (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Этап 4.2

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 7

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 7.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.1.2.2

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.1.2.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.4

Объединим.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ и ${\sin (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Этап 8.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Этап 8.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 8.6

Умножим $1 + \cos (x)$ на $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 9

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\csc (x) (1 + \sec (x))$

Этап 10

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \sec (x))$

Этап 10.2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 11.2

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 11.3

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 12

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Чтобы записать $\frac{1}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 12.2

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 14

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$ — тождество